0 引言
三自由度的三平移(3T)并联机构因结构简单、控制不复杂而有较高实用价值[1]，很多学者对3T并联机构及其操作手进行了研究分析。VISCHER等[2]设计了三维平移Delta机构；还有一些学者研究了基于Delta机构的衍生机构——操作手[3-5]；TSAI等[6]提出一种由移动副驱动、支链含4R平行四边形机构的三自由度移动机构；李仕华等[7-8]设计出3-UPU型三平移机构，并对该机构的瞬时运动学性能进行了分析；赵铁石等[9]、尹小琴等[10]给出了3-RRC型三平移机构的位置正反解方程；ZHAO[11]考虑运动学的各向异性，对一种3T并联机构进行了尺度综合及运动学研究；ZENG等[12-13]、LEE等[14]对一种三平移Tri-pyramid并联机构位置方程的正反解、雅可比矩阵、各向同性等运动学特性进行了分析；BHUTANI等[15]通过对3-UPU型机构的数学模型和设计要素进行分析，提出了一种新的设计方案；LI[16]等研究了运动解耦的3T机构。
但是，上述三平移机构存在两大问题：①机构耦合度κ不为零，即κ≥1，因此，一般得不到位置正解的解析解，而只能得到数值解；②不具有输入-输出运动解耦特性[17]，运动控制及轨迹规划等较为复杂，给应用带来了不便。
根据基于方位特征(position and orientation characteristic，POC)方程的并联机构拓扑结构设计理论和方法[18]，笔者设计出一种新的3T并联机构。该机构耦合度为零，可得其位置正解的解析解；同时，该机构具有部分运动解耦，机构的运动控制及轨迹规划较容易。此外，本文还对该机构的奇异位形、工作空间，以及动平台质心的速度、加速度的变化规律进行了分析。
1 并联机构的设计
如图1所示，本文提出的3T并联机构由动平台1、静平台0和2条混合单开链(hybrid single opened chain，HSOC)组成。
图1 3T并联机构
Fig.1 3T Parallel Mechanism
第1条混合支链包含支链(HSOC1)Ⅰ、Ⅱ，静平台0通过转动副R11连接构件2的一端，构件2的另一端固定连接由4个球副(Sa、Sb、Sc、Sd)组成的平行四边形
的短边杆3；构件3′和短边杆3个平行转动副(R21‖R22‖R23)并联构成一个子并联机构
同时，构件3′通过2个平行转动副(R12‖R13)串联后连接于动平台1；此外，静平台0上的转动副R11、R21互相垂直，转动副动R12的轴线垂直于动平台1的平面。第1条混合单开链HSOC1记作
该混合支链末端为动平台1的一部分，产生三平移和一转动。
第2条混合支链HSOC2即支链Ⅲ通过静平台上的转动副R31连接一个平行的转动副R32后，再串联由4个R副(Re、Rf、Rg、Rh)组成的平行四边形
最后，通过平行轴线的转动副R33连接于动平台。支链Ⅲ记作
其末端产生三平移和一个绕R33轴的转动。显然，混合单开链HSOC2和典型Delta机构中的支链相同，但典型Delta机构包含3条这样的混合支链。
2 拓扑特性分析
2.1 机构的POC分析
串联、并联机构的POC方程[18]分别为
(1)
(2)
式中，MJi为第i个运动副的POC集；Mbi为第i个支链末端的POC集；MPa为机构动平台的POC集。
机构的POC集分析过程如下：
(1)设定机构的两条复杂支链的拓扑结构分别为HSOC1{R11(-P4S-P4S-R4S-R4S)⊥(R23‖R22‖R21-)R12‖R13}和HSOC2{R31(P4S)‖R32‖R33}。
(2)选定动平台上任意一点为基点O′。
(3)确定两混合支链末端构件的POC集：
(4)确定动平台的POC集：
可知，该并联机构动平台一直产生纯三维移动。
2.2 机构的自由度计算
并联机构的全周自由度公式[18]为
(3)
(4)
式中，F 为机构自由度；fi 为第i个运动副的自由度；m 为运动副数；v 为独立回路数，v=m-n+1；n为构件数；ξLj为第j个独立回路的独立位移方程数；
为前j条支链组成的子并联机构POC集；Mb(j+1)为前j+1条支链末端构件的POC集。
2.2.1 确定独立位移方程数
该机构可分解为2个独立回路，它们的独立位移方程数计算如下：
(1)由支链Ⅰ、Ⅱ组成的第1个独立回路为HSOC1{R11(P4S-P4S-R4S-R4S-R23-R22-R21}。由式(2)可得子并联机构
的POC集：
MPa(1-2)=MⅠ∩MⅡ=
由式(3)可得该子并联机构的自由度：
由式(4)可得该子并联机构的独立位移方程数：
可见，子并联机构的输出杆3′在XOZ平面内产生两维平移运动，且仅由静平台0上的驱动副R11、R21决定，因此，该机构具有部分运动解耦性。
(2)子并联机构与子串R12‖R13以及支链Ⅲ组成第2个回路HSOC2{R31(P4S)‖R32‖R33⊥R13‖R12}，由式(4)可得
2.2.2 确定机构的自由度
由式(3)可得机构自由度：
计算机构的自由度时，可将该机构视为仅由2条复杂支链组成的一个独立回路SOC{P*-P*-R12-R13-R33-P4R-R32-R31}，则由式(4)得其独立位移方程数：
由式(3)可得F=8-5=3。显然，自由度计算时将含回路的子并联机构用等效支链代替，计算过程比较清晰。
2.3 机构的耦合度计算
2.3.1 耦合度的定义
由基于序单开链(single opened chain, SOC)单元的机构组成原理知，任意机构可分解为若干个基本运动链(basic kinematics chain，BKC)；独立回路数为v的BKC可进一步分解为v个SOC(Δj)(j=1,2,…,v)，第j个单开链SOCj的约束度Δj定义为
(5)
式中，mj为第j个SOCj的运动副数；fi为第i个运动副的自由度；Ij为第j个SOCj的驱动副数。
而其耦合度为
(6)
耦合度κ反映了机构各独立回路运动变量之间的关联和依赖程度，反映了机构运动学、动力学问题求解的复杂性，κ越大，机构运动学、动力学问题求解的复杂度越高；对于κ=0的机构，可以直接求出每个BKC的位置，从而得到位置正向解析解；κ>0意味着机构中至少有一个BKC的回路运动位置量需由多个回路方程联立求解，才能求得其位置正解。
2.3.2 耦合度计算
独立回路HSOC1、HSOC2的独立位移方程数ζL1=6，ζL2=5，因此，约束度为
Δ1=∑fi-I1-ζL1=(5+3)-2-6=0
Δ2=∑fi-I2-ζL2=6-1-5=0
该3T并联机构包含2个耦合度均为0的BKC，即κ1=κ2=0，因此，该机构的位置正解易由BKC1、BKC2直接求得解析解。
3 位置分析
3.1 结构参数标注及坐标系的建立
为理解方便，将图1所示机构展开为平面形式，如图2所示，静平台0、动平台1均为正方形，边长分别为2l1、2l2；静平台0上的3个转动副R11、R21和R31分布在各边的中点。
图2 3T并联机构的展开俯视图
Fig.2 Top view of 3T parallel mechanism
不失一般性，静坐标系OXYZ建立在静平台0的几何中心，且X轴垂直于R31的轴线，Y轴垂直于R11的轴线；动坐标系puvw位于动平台1的中心，u轴、v轴分别垂直平行于R33的轴线，z、w轴由右手法则确定。该3T并联机构的运动学建模如图3所示。
图3 3T并联机构的运动建模
Fig.3 Kinematic Modeling of 3T Parallel Mechanisms
设AiBi=l3，BiCi=l4(i=1，2，3)，其中，l3<l1，l4>l3；两平行四边形的短边长均为2l5，且点B1、B3、C1、C3均为短边上的中点，C2D2=l5，C1D1=C3D3=E1F1=l6，D1E1=l7。
设A1B1与Y轴正向夹角为θ1；A2B2、A3B3与X轴正向夹角为θ2、θ3；D1E1与X轴正向夹角为β。
3.2 位置正解分析
机构位置正解求解过程可归结为：已知输入角θ1、θ2、θ3，求动平台1上的中心点p点坐标。
3.2.1 BKC1的位置求解
易知，静平台上点Ai、Bi的坐标分别为A1=(0, l1, 0)，A2=(-l1, 0, 0)，A3=(l1, 0, 0)，B1=(0, l1+l3cosθ1, l3sinθ1)，B2=(-l1+l3cosθ2, 0, l3sinθ2)，B3=(l1+l3cosθ3, 0, l3sinθ3)。
由2.2节可知，机构运动过程中，子并联机构的构件3′的输出运动始终为XOZ平面内的两维平移，因此，yC1=yC2=0。
由杆长约束B1C1=B2C2=l4，得位置方程：
(7)
将式(7)中的两式相减，得
a1xC1+b1zC1=c1
(8)
a1=2(xB2+2l5) b1=2(zB2-zB1)
若a1=b1=0，则
不成立，因此，a1、b1不同时为零，于是a1=0时，有
(9)
a1≠0时，有
(10)
3.2.2 BKC2的位置求解
易求得点D1、E1、F1、D3、C3的坐标分别为D1=(xC1,0,zC1+l6)，E1=(xD1+l7cosβ,l7sinβ,zD1)，F1=(xD1+l7cosβ,l7sinβ,zD1+l6)，D3=(xD1+l7cosβ+2l2,l7sinβ,zD1+l6)，C3=(xD3,yD3,zD3-l6)。由杆长约束B3C3=l4，建立位置方程：
(11)
对(11)进行展开、整理，得
a2cosβ=b2
(12)
a2=2l7(xD1-xB3+2l2)
由式(12)求得β后，即可由点D3、F1求得动平台上p点的坐标分量：
(13)
3.3 位置逆解分析
机构位置逆解求解为：已知动平台1上的中心点p点坐标，求输入角θ1、θ2、θ3。
3.3.1 求输入角θ1、θ2
根据点D1、E1、F1的坐标F1=(x-l2,y,z)，E1=(x-l2,y,z-l6)，D1=(xD1,0,z-l6)，由杆长约束D1E1=l7，可求得
C1=(xD1,0,zD1-l6)
C2=(xD1-2l5,0,zD1-l6)
再由杆长约束B1C1=B2C2=l4可得
(14)
进一步整理得
(15)
I=1,2 z1=zC1 z2=zC2
3.3.2 求输入角θ3
同理，通过杆长约束B3C3=l4可得D3=(x+l2,y,z)，C3=(x+l2,y,z-l6)。由杆长约束B3C3=l4，建立位置方程：
(16)
展开并整理式(16)得
(17)
z3=zC3
3.4 实例验算
参考ABB机器人14R的尺寸参数，取该机构结构参数如下：l1=300 mm，l2=70 mm，l3=350 mm，l4=l8=800 mm，l5=100 mm，l6=10 mm，l7=50 mm。给定一组主动输入角：θ1=61.87°，θ2=135.05°，θ3=45.67°。
由式(13)，得动平台1上p点的两个位置(单位mm,下同)：(59.30，26.34，969.42)和(59.30，-26.34，969.42)。取坐标(59.30，26.34，969.42)，该坐标对应的机构三维构型如图4所示。
图4 第一组坐标对应的机构构型
Fig.4 The configuration of the first set of coordinate
取p点坐标为(59.30，-26.34，969.42)，将其代入式(15)～式(17)，得到3个输入角的8组逆解；其中的1组逆解为θ1=61.87°，θ2=135.05°，θ3=45.67°，这与正解中给定的3个已知输入角一致，因此，正反解求解正确。其余7组解都为机构位置反解的理论值，对应的机构装配构型不具有较好的实用价值，有机构稳定性较差、构件与静平台易干涉等问题。
4 工作空间分析
工作空间是衡量并联机构性能的重要指标之一。本文采用极限边界搜索算法搜索该机构的工作空间[19]。首先，根据杆长来设定工作空间的搜索范围；然后，基于位置逆解，搜索所有满足杆长约束、转角约束、干涉约束的点，由这些点组成的三维图即为该并联机构的工作空间。
设定搜索范围为：400 mm≤z≤1 200 mm，-π≤θ≤π，0≤ρ≤1 000 mm，(θ、ρ分别为柱坐标系中的搜索角度和半径)。利用MATLAB得到该机构的工作空间及其各X-Y截面，如图5、图6所示。由图5、图6可知：①该并联机构的工作空间较大，z∈[400 mm, 500 mm]时，工作空间不连续，有空腔；z∈[500 mm, 900 mm]时，工作空间连续，为有效的操作工作空间。②该并联机构的工作空间关于x轴大致对称。
图5 工作空间的三维立体图
Fig.5 Three-dimensional view of workspace
图6 X-Y截面图
Fig.6 X-Y cross-section
5 奇异位形分析
5.1 奇异位形概述
在奇异位置时，机构处于死点状态，不能继续运动或失去稳定，还会出现受力状态变坏，损坏机构，影响机构的正常工作。因此，识别机构的奇异位形，是并联机构设计与分析的重要内容之一，本文采用Jacobian代数法来分析该机构的奇异位形。
5.2 奇异位形分析方法
设机构动平台输出速度
输入角速度
式(14)、式(16)的两边同时对时间t求导，则有
JpV=Jqω
(18)
f11=xB1-xC1 f13=zB1-zC1
f21=xB2-xC2 f23=zB2-zC2
f31=xB3-xC3 f32=yB3-yC3 f33=zB3-zC3
u11=(zB1-zC1)l3cosθ1-(yB1-yC1)l3sinθ1
u22=(zB2-zC2)l3cosθ2-(xB2-xC2)l3sinθ2
u33=(zB3-zC3)l3cosθ3-(xB3-xC3)l3sinθ3
5.2.1 第一类奇异
detJq=0时，发生第一类奇异。这意味着每个分支中靠近机架的2根杆折叠在一起或完全展开。在此位形下，动平台的自由度数减小。因此，可得Jq的行列式的集合
M=M1∪M2∪M3
(19)
即Jq=diag(u11，u22，u33)中的u11或u22或u33为0对应有以下三种情形：① A1、B1、C1三点在OYZ平面上的投影共线时，M1={(zB1-zC1)l3·cosθ1-(yB1-yC1)l3sinθ1=0}；②A2、B2、C2三点在OXZ平面上的投影共线时，M2={(zB2-zC2)l3cosθ2-(xB2-xC2)l3sinθ2=0}；③A3、B3、C3三点在OXZ平面上的投影共线时，M3={(zB3-zC3)l3cosθ3-(xB3-xC3)l3sinθ3=0}，其中，M3对应的三维模型如图7所示。
图7 第一类奇异位型
Fig.7 Singularity of type 1
5.2.2 第二类奇异
detJp=0时，发生第二类奇异。这意味着所有主动构件锁住时，执行构件依然可以产生局部运动。在此位形下，动平台的自由度数增大。因此，可将矩阵Jp看作3个行向量的组合即Jp=[e1 e2 e3]T，若detJp=0，则3个向量存在下面两种情况：
(1)2个向量线性相关。若e1=ke2 ，取[f12 f13]=k[f22 f23]，则
此时，B1C1向量和B2C2在OXZ平面上的投影平行，其三维构型如图8所示。
图8 第二类奇异位形
Fig.8 Singularity of type 2
(2)3个向量线性相关。若e1=k1e2+k2e3，可得
f1I=k1f2I+k2f3I I=1，2，3
I=3时，k1f23+k2f33=k1(zB2-zC2)+k2(zB3-zC3)≠f13，可知3个向量线性相关不成立。
(3)第三类奇异。第三类奇异也被称为组合型奇异，其条件为detJq= detJp=0，这意味着只有当第一类奇异和第二类奇异同时发生时才能产生，在此位形下，动平台将失去原有的运动特性。
因此，取u11=0，u22=0或u33=0代入第二类奇异分析，得detJp不为0，可知第二类奇异不成立。由于第一类奇异和第二类奇异不能同时发生，故该机构不存在第三类奇异。
6 速度与加速度分析
6.1 速度分析
机构非奇异时，Jp可逆，由式(18)得动平台原点的输出速度：
(20)
6.2 加速度分析
进一步，对式 (18)求导，易有
(21)
当机构在非奇异位置时，Jp可逆，则动平台原点的加速度为
(22)
6.3 算例验证
取输入角θ1=θ3=15°cost，θ2=-15°cost。由式(20)～式(22)，用软件MATLAB计算得机构动平台1的速度、加速度，如表1、表2所示。
表1 动平台的速度
Tab.1 Speed of the moving platform
时间(s)vx (mm/s)vy (mm/s)vz (mm/s)25.081 824.658-1.8824-9.64120.0073.5156-13.778-4.6514.8798-4.190 0-24.6581.599
表2 动平台的加速度
Tab.2 Acceleration of moving platform
时间(s)ax (mm/s2)ay(mm/s2)az (mm/s2)2-7.3814.6472.7024-5.850-8.8682.03662.063-13.515-0.66086.278-4.647-2.344
同时，建立该机构的三维模型，并用SolidWorks导入到软件Adams中，仿真得到动平台的速度与加速度曲线，如图9、图10所示。
图9 动平台的速度仿真曲线
Fig.9 Velocity simulation curve of moving platform
图10 动平台的加速度仿真曲线
Fig.10 Acceleration simulation curve of moving platform
通过分别对比表1、表2和图9、图10发现：①基于MATLAB公式的计算值与Adams仿真曲线值完全一致。由表2、图10可知，t=4s时，动平台1的加速度相等，ax=-5.850 mm/s2，ay=-8.868 mm/s2，az=-2.036 mm/s2，从而验证了速度与加速度公式的正确性；②由图9、图10可知，该机构速度与加速度曲线变化平稳，具有较好的动力学性能。
7 结论
(1)设计出一种耦合度为零且运动解耦的非对称三平移并联机构，得到了该机构的位置正解及反解求解解析式。
(2)基于位置反解的机构工作空间分析表明，机构工作空间较大且对称，并给出了3种奇异位形发生的条件。
(3)机构的速度与加速度分析表明，该机构具有较好的动力学性能。
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