的概念和求解方法。构造坐标系
生成了三维曲面S* *，提取了性态特征——谷脊线J* *和谷底点P* *，揭示出最紧凑机构尺寸解的存在性并给出求解方法，解决了做平面运动滚子从动件盘形凸轮机构的泛类尺寸综合问题。摘要：以滚子中心C(u,v)为牵引变量，系统分析讨论了整程区域套Γ*(x,y)/边界∂Γ*(x,y)的性态多样性。通过引入简约遍历区域Σ[2]和Σ[0]的概念和离散-网格化处理方法，提出了并解区域的概念和求解方法。构造坐标系生成了三维曲面S* *，提取了性态特征——谷脊线J* *和谷底点P* *，揭示出最紧凑机构尺寸解的存在性并给出求解方法，解决了做平面运动滚子从动件盘形凸轮机构的泛类尺寸综合问题。
针对做平面运动滚子从动件盘形凸轮机构，常勇等[1-8]归纳和概括得到广义Ⅰ类尺寸综合问题和广义Ⅱ类尺寸综合问题。广义Ⅰ类尺寸综合问题，即已知从动构件系统尺寸、输出件推程始终位置和位移规律、许用压力角、位于连杆平面Σ2的滚子中心位置等，求解凸轮轴心的解区域、最紧凑的机构尺寸解等。广义Ⅱ类尺寸综合问题，即已知从动构件系统尺寸、输出件推程始终位置和位移规律、许用压力角，位于机架平面Σ0的凸轮轴心位置等，求解滚子中心的解区域、最紧凑的机构尺寸解等。上述两类尺寸综合问题有明显的前提，前者是已知滚子中心，求解凸轮轴心；后者是已知凸轮轴心，求解滚子中心。
本文研究的问题是，已知从动件系统尺寸、输出件推程始终位置、位移规律和许用压力角等条件，求解滚子中心、凸轮轴心解区域、最紧凑的机构尺寸解等的尺寸综合问题，即泛类尺寸综合问题。
如图1所示，德国海德堡高速印刷机机构的泛类尺寸综合问题的描述如下：已知机架长度l0、摇杆长度l5、初位角θ50、行程角βm、推程运动角Ф0和运动规律、推程许用压力角[α]、凸轮转动方向滚子中心C，凸轮轴心O1分别位于连杆平面Σ2、机架平面Σ0上，求解滚子中心C、凸轮轴心O1的解区域、最紧凑机构尺寸解等。
图1 高速印刷机机构的构型
Fig.1 Mechanism-form of high-velocity printing machine
图1所示的演化构型中，凸轮轴心、滚子中心位于机架、连杆平面，反映泛类尺寸综合的特征。固定坐标系Oxy指固连于机架平面Σ0上，以O为原点、O→x为x轴正向、O→y为y轴正向的坐标系。浮动坐标系O2uv指固连于连杆平面Σ2上，以O2为原点、O2→u为u轴正向、O2→v为v轴正向的坐标系。
据文献[3]，在连杆平面Σ2上任取一点作为滚子中心C(u,v)，根据类速度图原理和推程压力角α≤[α]，任一瞬时均存在瞬时区域套Γ(x,y)/瞬时边界∂Γ(x,y)。根据相应解析公式[3]，绘制整程∠P20Hx-θ1线图。
适当选取基底坐标/锁定区间套，求解整程瞬时区域套Γ(x,y)的公共交集，可得到整程区域套Γ*(x,y)/整程边界∂Γ*(x,y)，即凸轮轴心O1(x,y)的解区域及其边界，如图2所示。整程边界∂Γ*(x,y)由上下边界
和(或)
构成，存在多种可能情况。
图2 Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)存在(开放性态)
Fig.2 Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y) exists(oponed)
和凸轮最小基圆半径
的求解据文献[3]，整程区域套Γ*(x,y)一般为半封闭、类角形域。选定滚子中心C(u,v)，沿对应的整程边界∂Γ*(x,y)一维搜索求解，凸轮基圆半径r0最小值
解得后，对应的凸轮轴心位置
随之确定。一般情况下，取得的最优凸轮轴心是角点
如图2、图3所示。
图3 Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)存在(封闭性态)
Fig.3 Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y) exists(sealed)
在连杆平面Σ2上，探索、遍历性选取一系列点作为滚子中心C(u,v)，采用文献[3]方法及解析公式编制通用程序，生成对应的Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)。
滚子中心C(u,v)不同时，Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)存在性态多样性：
(1)Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)存在时，如图2所示，Γ*(x,y)是开区域，∂Γ*(x,y)是开曲线；如图3所示，Γ*(x,y)是闭区域，∂Γ*(x,y)是闭曲线。可采用2.3节方法，搜索求解r0min及对应凸轮轴心
(2)Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)不存在时，如图4所示，Γ*(x,y)是空集，Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)不存在。
图4 Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)”不存在
Fig.4 Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y) not exists
文献[3]因在连杆平面Σ2上取点有限，仅仅发现了Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)存在的情形。新的研究发现：①Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)可能存在②Γ*(x,y)/∂Γ*(x,y)存在时，有开放性态、封闭性态。
连杆平面Σ2、机架平面Σ0无限延展，若据此搜索求解，计算工作量大、不经济、效率低，因此，应尽量压缩简约遍历区域Σ[2]和Σ[0]的选择范围。同时，应能保证反映、呈现重要的现象、规律和特征。
通过预估和评判，在连杆平面Σ2、机架平面Σ0上，选定图5所示的简约遍历区域Σ[2]：
(1)
和Σ[0]：
(2)
图5 Σ[2]和Σ[0]及其离散——网格化
Fig.5 Σ[0] and Σ[0] and its discrete grid
Σ[2]、Σ[0]的选定需要兼顾求解的可靠性和经济性。可靠性指问题目标解必居其中；经济性指求解工作量显著减小。
如图5a所示，对Σ[2]和Σ[0]分别沿u、v和x、y方向离散——网格化：
Δ=up+1-up=vq+1-vq=xj+1-xj=
yk+1-yk=10-m(mm)
(3)
其中，m为离散指数，取自然数，根据求解精度要求而定。
对于任一网格节点C(up,vq)和O1(xj,yk)，有
(4)
p=pmin，pmin+1，…，pmax
pmin=int(-0.7l0/Δ) pmax=int(0.7l0/Δ)
q=qmin，qmin +1，…，qmax
qmin=int(-0.4l0/Δ) qmax=int(l0/Δ)
和
(5)
j= jmin，jmin+1，…，jmax
jmin=int(-0.4l0/Δ) jmax=int(l0/Δ)
k= kmin，kmin+1，…，kmax
kmin=int(-0.7l0/Δ) kmax=int(0.7l0/Δ)
据Σ[2]和式(3)遍历选取节点C(up,vq)，求解、核验每一节点对应的整程区域套Γ*(x,y)pq存在与否。存在，则标记为浅灰；不存在，则标记为中灰，从而得到解区域
非解区域
以及边界
如图6所示。
图6 滚子中心C的解区域
和非解区域
Fig.6 Union solution domain and non-union solution domain of roller center C
据4.3节解得的解区域
遍历选取节点C(up,vq)，求每一节点对应的整程区域套
与Σ[0]的交集，即
(6)
若
(空集)，则标记为深灰；若
(空集)，则仍记为浅灰，从而得到并解区域
并非解区域
边界
如图7所示。
图7 滚子中心C的并解区域
和并非解区域
Fig.7 The roller center C’s union solution region and not union solution region
据Σ[0]和4.4节解得的每一
将并集区域
标记为深灰；将非并集区域标记为浅灰，得到深灰的并解区域
中灰的并非解区域
边界
如图8所示。
如图9所示，根据2～4节，得最紧凑尺寸解的具体求解思路和步骤：
图8 凸轮轴心O1的并解区域
和并非解区域
Fig.8 Union solution domain 
and non-union solution domain of cam axis O1
(1)以
为背景基础，以
为坐标轴，构造坐标系
其中，为最优凸轮轴心
对应的凸轮最小基圆半径。
(2)遍历每一节点C(up,vq)，求解对应的和
(3)将求得的每一组
映射至坐标系
中，得图9所示的空间曲面S* *。图9中，
分别是J* *和P* *在底平面投影，的几何意义见图7。S* *呈单谷性态，谷脊线J* *上存在一个谷底点P* *(对应最紧凑的机构尺寸解)。
(4)比较每一节点的
筛选解得最小者
解得后，对应的滚子中心
和凸轮轴心
即随之确定
和
对应谷底点P* *。
图9 空间曲面S* *、谷脊线J* *和谷底点P* *
Fig.9 Space surface S* *,ridge line J* * and bottom point P* *
如图1所示，机架长度l0=140 mm，摇杆长度l5=50 mm，摇杆初位角θ50=140°，行程角βm=80°，推程运动角Ф0=150°，取摆线运动规律，滚子中心C、凸轮轴心O1分别位于Σ2和Σ0上，[α]=40°，凸轮顺时针转动，求解：①滚子中心C、凸轮轴心O1的并解区域和
②最紧凑的机构尺寸解；与文献[2]中例1、文献[3]中例2的最紧凑尺寸解作对照比较。
求解步骤如下：
(1)据已知条件和式(1)、式(2)，确定简约搜索区域Σ[2]和Σ[0]：u∈[-98 mm,98 mm]，v∈[0, 140 mm]；x∈[-56 mm,140 mm]，y∈[-98 mm,98 mm]。据式(3)取m=2，Δ=0.01 mm。据第4节步骤(3)～步骤(5)，解得并解区域和
见图7、图8。
(2)如图9所示，据已知条件、步骤(1)和第5节步骤(1)～步骤(4)，解得空间曲面S* *。
求解得到最紧凑机构尺寸解如下：滚子中心
凸轮轴心
(3)作对照比较。广义Ⅱ类尺寸综合问题的解：文献[2]例1中，预先给定(已知)凸轮轴心O1 (0, 0)，解得滚子中心C* *(17.20 mm, 89.94 mm)和
5 mm。广义Ⅰ类尺寸综合问题的解：文献[3]例2中，预先给定(已知)滚子中心C (0, 64.45 mm)，解得凸轮轴心
mm, -6.45 mm)和
6 mm。泛类尺寸综合问题的解——本文谷底点
值即
7 mm分别是上面两者的92.96%、89.53%。通过泛类尺寸综合问题的求解，取得了全局性、最(更)紧凑的机构尺寸解。
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Abstract:The roller center C(u,v) was selected as a variable, and the possibilities of instantaneous area set Γ*(x,y)/boundary ∂Γ*(x,y) were systematically analyzed and discussed. By introducing the concepts of simple ergodic region Σ[2] and Σ[0], and the approach of discrete-grid, the concepts and solutions of union of solution area 
were proposed innovatively. Coordinate system was constructed, three-dimensional surface S* * was generated, and the characteristics of state-edge of regression J* *and bottom point P* * were extracted to reveal the existence of the most compact mechanism size solution and the solution method, which solved the general class size synthesis tasks of disc cam mechanisms with roller follower moving in planar general motions.
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