机械臂架系统的非随机振动分析

臂架是混凝土泵车、起重机、挖掘机等诸多工程机械装备中常用的一种重要结构形式。此类工程机械往往工作环境恶劣，承载复杂多变，在进行作业时其伸缩机构、垂直臂、挡位等需要频繁启停或调整，导致臂架容易产生振动。并且，在臂架振动过程中存在动态不确定性因素的介入，例如混凝土流经泵车臂架输送管道时引起的摩擦力等，使得结构振动响应也呈现出一定的不确定性。传统的结构动态不确定性分析方法主要基于概率理论[1-3]，以随机过程对动态参数的不确定性进行度量，基于此的结构动力学分析就是随机振动分析[4-6]。

对于机械臂架的随机振动分析，通常将臂架的几何尺寸、材料特性参数、作用载荷和边界条件等视为随机变量，研究随机振动过程中的应力、位移变形或稳定性特性，或者基于随机振动参数分析系统的可靠性。文献[7]利用拉格朗日方法，将柔性机械臂几何、材料和边界条件参数当作不确定量，建立了空间柔性机械臂不确定性动力学模型，并在此基础上对柔性机械臂的功能可靠性问题进行了研究；文献[8]将履带起重机臂架的几何尺寸、材料特性参数和作用载荷视为随机变量，建立了以臂架强度、刚度、整体稳定性和压弯杆件稳定性为失效模式的动态可靠性分析模型；文献[9]将随机因子引入随机响应面法中，提出一种处理多输入随机参数的双连杆柔性机械臂系统可靠性分析方法；文献[10]利用径向基函数(RBF)神经网络分别对系统的运动学不确定性和动力学不确定性进行了在线建模和自适应补偿，设计控制器实现其末端位置跟踪；文献[11]借助有限元仿真方法对工业机器人机械臂进行了模态分析，并借助ANSYS概率分析模块对机械臂进行了可靠性研究；文献[12]将随机干扰引入单杆柔性关节机械臂系统，建立了一个具有未知参数的随机动力学模型。在上述研究中，机械臂架结构的材料参数、几何参数和作用载荷等参数的不确定性度量均基于概率假设，通过随机变量或随机过程进行表征。然而，为获得参数的概率分布信息，随机过程模型的构建需基于动态参数的大量样本观测数据，这对于很多实际工程问题存在成本过高等困难。此外，研究表明[13]，对于此类参数不当的主观概率假设可导致对结构响应及可靠性的估计产生较大的偏差，容易引起工程人员对结构参数的不合理设计及对实际结果的误判。

针对上述问题，本文引入非随机振动分析方法[14-16]对机械臂架结构的动态响应特性进行分析，获得结构动态响应的上下边界信息，从而方便工程人员进行结构性能评估及参数设计。在对臂架结构的非随机振动分析中，臂架系统采用有限元数值仿真模型代替，从而避免复杂的动力学微分方程推导和求解[17]，动态不确定激励参数由区间过程[16]描述，仅要求知道动态参数的波动上下边界而非概率分布信息，有效避免了对大量样本数据的依赖，对实际工程问题而言具有较好的实用性。

1 臂架结构的动力学分析

以混凝土泵车(图1)为例，混凝土主要通过臂架系统(包含5节臂架)连续不断地被泵送至浇注点，因此臂架性能的好坏将直接影响混凝土浇注的准确性。混凝土的浇注属于动态过程，在泵送及浇注过程中将不可避免地引起臂架的振动。对臂架结构的振动分析尤其是对臂架末端的动态响应进行预测和控制，有助于保证混凝土浇注的质量，同时也有益于减缓臂架的疲劳破坏和提升臂架系统的可靠性。本节首先对混凝土泵车臂架进行受力分析，然后基于力学模型进行动态响应分析。

1.1 受力分析

在混凝土泵车臂架系统所受的载荷中，最主要的一种载荷即为混凝土流经管道时产生的摩擦力，其简化的受力模型见图2。根据混凝土在光滑管道中流动的特点，输送管道单位面积所受摩擦力f?(t?)与柱塞流流速v?(t?)之间有如下关系[18]：

其中，K?1为黏着系数；K?2为速度系数。K?1和K?2取决于混凝土配合比和管道内壁情况，当管道内壁足够光滑时，普通混凝土的K?1和K?2值可通过下式计算[18]：

K?2=(4-0.1ε?)×102Pa·s/m

其中，?ε?为混凝土塌落度，可根据实际试验测量获得。而第i?节输送管道受到的总摩擦力F?i?(t?)为

其中，S?i?为第i?节管道内表面面积。流速v?(t?)与流量Q?(t?)的关系为

其中，A?1为泵送主油缸进油腔横截面积；A?2为混凝土缸横截面积；A?3为输送管横截面积。令式(5)中

对于特定型号的泵车，η?容易计算得到。综合式(1)、式(4)、式(5)可得总摩擦力

在进行有限元计算中，相应的第i?节臂在时刻t?j?(j?=1,2,…)所加载的节点摩擦力p?ij?为

其中，m?i?表示第i?节臂管道内壁施加载荷的节点总数。

1.2 动态响应分析

由式(6)可以发现，第i?节管道内表面所受到的摩擦力由两部分组成，第一部分为由流量Q?(t?)引起的动态激励，第二部分则为确定性静态激励。不妨将第一部分引起的结构动态响应记为w?1(t?)，将第二部分引起的结构动态响应记为w?2(t?)。假设混凝土泵车臂架结构为近似线性系统，根据线性系统的叠加原理，结构的动态响应w?(t?)可表示为

对于流量Q?(t?)引起的结构响应w?1(t?)可由如下杜哈梅积分[19]求解得到：

其中，h?(t?-τ?)表示在时刻τ?施加一单位脉冲激励，在t?时刻引起的系统响应，即单位脉冲响应。在本文中，单位脉冲响应h?(t?-τ?)由混凝土泵车臂架系统的有限元模型仿真计算得到，如图3所示。相应地，根据式中杜哈梅积分的数值离散形式可得到式(8)等号右边第一项因流量Q?(t?)引起的动态响应w?1(t?n?)：

其中，Δτ?为离散时间间隔，通常足够小；h?(t?-t?j?)表示流量Q?(t?j?)流经管道时引起的系统响应。将式中第二项激励直接输入有限元模型计算可以得到对应的确定性响应w?2(t?n?)，于是系统总响应又可写为

由式(11)可知，任意时刻t?n?系统响应w?(t?n?)取决于激励的大小以及表征系统特性的单位脉冲响应函数。

2 臂架结构的非随机振动分析

流体状混凝土在输送管道中流动时，由于混凝土泵车的挡位、泵送压力以及混凝土自身的物理特性分布的不均性(如黏度、质量分布等)，作用力将呈现出较大的不确定性。自然地，系统的输出响应也将呈现出不确定性。要保证施工过程中泵车臂架的稳定性，以较好地控制混凝土浇筑的效果和效率，则需要充分考虑上述不确定性对系统结构振动的影响。下面将通过区间过程模型对不确定性动态激励进行度量，进而对柔性多体结构的非随机振动展开分析，最终获得系统动态响应的边界。

2.1 动态载荷的区间过程模型

在实际工程中，式(6)中的流量Q?(t?)通常为动态不确定量，这里由区间过程模型进行度量。如图4所示，在区间过程模型中，动态激励的不确定性被描述为有边界的波动。换言之，对于不确定动态激励Q?(t?),t?∈T?，由于不确定性因素的影响，其观测样本函数将存在一定差异；但不管样本函数如何变化，都将严格包络于激励区间过程Q?(t?)的上下边界函数Q?U(t?)和Q?L(t?)以内。对于任意时刻t?i?∈T?，激励Q?(t?i?)为一区间变量，所有可能取值的波动范围为一闭区间。因此，区间过程通常也可理解为随时间变化的区间变量。除了上下边界特征，区间过程对动态不确定性激励进行度量的另外一个重要参数就是任意两个时刻之间的相关性。下面对区间过程的定义、主要性质以及建模原理简述。

(1) 设有一不确定性激励Q?t?，在特定的时间段T?内，如果对于任意时刻t?i?∈T?，Q?t?i?所有可能的值属于区间Q?It?i?=Q?Lt?i?,Q?Ut?i?，则该不确定性激励过程Q?t?称为区间过程，记为Q?It?。

(2) 中值函数Q?mt?为

(3)激励Q?It?的半径函数Q?rt?和方差函数D?Q?It?分别为

与随机过程对应，用基于椭球模型定义的自协方差C?Q?IQ?I(t?1,t?2)度量任意两时刻t?1和t?2(t?1,t?2∈T?)对应的激励Q?I(t?1)和Q?I(t?2)之间的相关性。

(4)对于任意时刻t?i?和t?j?，区间过程Q?I(t?)对应的区间变量Q?I(t?1)和Q?I(t?2)之间的协方差为

如图5所示，θ?是相关角(-45°≤θ?≤45°)，也就是由两区间变量Q?I(t?1)和Q?I(t?2)形成的椭圆不确定域的半轴与水平轴之间的夹角，r?1和r?2分别表示椭圆两个半轴长，而椭圆是指包裹两个区间变量样本的最小面积椭圆[14]，有

特别地，当t?=t?1=t?2时，有

(5)在时刻t?=t?j?，Q?(t?j?)∈Q?L(t?j?),Q?U(t?j?)，j?=1，2,…,n?，其联合不确定域Ω?可以表示为一个n?维超椭球域：

其中，Qm为n?维激励的区间中点向量；CQ?IQ?I为激励Q?I(t?)的自协方差矩阵。从实验样本得到自协方差矩阵的具体步骤参考文献[14]。

2.2 动态响应的边界求解

当用区间过程描述混凝土流量的动态不确定性时，臂架结构的动态响应也为一区间过程(图 6)。下面根据非随机振动分析方法分别计算臂架系统动态响应的中值函数和半径函数，从而求解结构动态响应的上下边界。

2.2.1 响应中值函数

根据1.2节卷积离散方法，将式(11)中的激励Q?(t?j?)用区间变量Q?I(t?j?)替代，于是在t?n?时刻，所测节点处总响应w?I(t?n?)为

则所测节点处总响应w?I(t?n?)的表达式可以写成：

根据区间变量的中值运算性质，可以得到所测节点处总响应的区间中值函数w?m(t?n?)为

2.2.2 响应半径函数

则式(20)又可以写成：

Q?i?∈Q?L(t?i?),Q?U(t?i?) i?=1,2,…,n?

其中，α-1是α的广义逆矩阵。将式(25)代入式(17)，得d所属的椭球不确定域Ω?d?为

由椭球特征矩阵与区间变量自协方差的关系(式(17))可知，dI的自协方差矩阵为

则所测节点处的总响应在时刻t?=t?n?的方差为

[α?1…?α?m? α?m?+1…?α?n?]CQ?IQ?I[α?1…?α?m? α?m?+1…?α?n?]T

根据式(14)半径函数和方差函数之间的关系，可得测点处总响应的区间半径函数为

根据式(12)、式(13)，所测节点在时刻t?=t?n?总响应的上下边界表达式分别为

通过式(30)、式(31)可以得到系统任意位置处的动态响应(包括振动位移、速度、加速度和动应力等)区间。现在将大型柔性多体系统不确定动态响应边界的通用求解流程总结如下。

(1)构建机械臂架有限元仿真分析模型。

(2)由流量Q?(t?)的单位脉冲激励计算各节臂架所受外载荷F?i?(t?),i?=1,2,3,4。

(3)施加动态载荷并计算得到臂架结构待分析位置的单位脉冲响应h?(t?)。

(4)根据激励样本数据获得激励的边界特征参数及协方差矩阵CQ?IQ?I。

(5)由单位脉冲响应信息及激励协方差矩阵计算响应的协方差矩阵，最终获得结构动态响应上下边界函数d?U(t?)和d?L(t?)。

3 工程算例分析

为验证本文中非随机振动分析方法的可行性和有效性，运用该方法对某混凝土泵车臂架系统做具体计算和分析。

3.1 臂架有限元模型的建立和计算

首先根据混凝土泵车的实车尺寸在Pro/E软件中建立三维实体模型，导入HyperMesh软件中进行网格划分，最后导入有限元软件ABAQUS中进行分析求解。

对臂架结构有限元模型划分网格(图1)，其中包含217 525个壳单元，用以模拟臂架主体结构；包含1 380个梁单元，用以模拟输送管、撑杆系统和油缸。在臂节间有三角架铰支结构支撑和固定相邻臂架。臂架系统的根部与泵车底盘固定，末端为自由端，臂架材料为960高强钢。共5节臂，每节臂中施加载荷的节点数见表1。针对本项目试验中所使用的模拟混凝土，经测试塌落度ε?为24.5 cm。为兼顾计算效率和精度，计算前30阶模态，时间步长设置为0.05 s，系统各阶阻尼比系数均设置为0.016 1。

根据混凝土泵车实际工作时的典型姿态，选择其中一种姿态作为本研究的对象，在ABAQUS软件中建立三维模型(图1)。选定臂架浇注口处的单元为研究对象，计算单位流量脉冲流经管道时，所选节点处3个方向的位移响应U?1、U?2和U?3，如图7所示。

3.2 臂架末端动态位移分析

对在正常情况下开展工作的泵送主油缸的泵送压力与流量进行测试，记录泵送主油缸的泵送混凝土流速随时间变化的样本曲线，并根据式(5)得到泵送主油缸泵送混凝土的流量随时间变化的样本曲线，如图8所示。经过对流量样本数据的分析整理，可以发现流量具有平稳性，本文将流量Q?(t?)处理为平稳区间过程，其上下边界分别为Q?U(t?)=6.5×10-3L/min和Q?L(t?)=5×10-4L/min。运用2.1节区间过程自协方差矩阵的求解方法，可以得到流量在时域的自协方差矩阵CQ?IQ?I，将其代入式(29)，结合测点的单位流量脉冲响应，得到总响应的区间半径函数d?r(t?)，结果如图9所示，将区间半径函数分别代入式(30)、式由图10可以看出，当把不确定性流量用区间过程描述时，借助数值仿真计算出系统的流量单位脉冲响应，可以得到臂架系统特定位置处的动态位移响应的上下边界。动态位移响应中值的波动幅度随时间迅速衰减，最终趋于常值-0.3 m；而区间的上下边界整体较为平稳，但也呈现出明显的周期振荡特征，这主要是由流量在时域上的周期性决定的。根据结果可知，在整个时域，当混凝土泵车在各种不确定性工况和载荷下，其浇注口处振动位移幅值将会处于区间[-1.2,0.5] m内。显然，该振动响应是不确定的，而在工程中若把此类问题处理成确定性问题，根据所得到的确定性结果进行结构设计将导致设计方案无法容许实际参数因误差、环境扰动等因素造成的波动，最终可能引起结构或装备的浇注质量无法保证、可靠性差等问题。

(31)，得到测点竖直方向位移U?2的动态响应边界，如图10所示。

4 结论

针对工程机械装备服役工况复杂多变、动态不确定性强且数据测试困难等特点，本文建立了一种可应用于多体臂架结构的非随机振动分析方法，以边界的形式刻画结构响应的不确定性，在一定程度上避免了不确定性激励概率模型构建的复杂性。该方法被应用于某型混凝土泵车臂架的振动不确定性分析，以区间过程模型度量泵车臂架混凝土输送流量的动态不确定性，基于非随机振动分析方法获得了泵车臂架末端浇注点的动态位移响应边界。在整个计算过程中，仅要求进行一次有限元计算，获得泵车臂架结构的单位脉冲响应，即可对动态不确定混凝土输送流量下的泵车浇注精度进行不确定性分析。从计算结果可以发现：

(1)混凝土泵车在正常工作情况下输送的混凝土流量出现一定的不确定性时，泵车末端的浇筑点将可能产生近1.7 m的偏移。由此可见，混凝土流量的动态不确定性将对混凝土泵车的浇注精度带来较大影响。为提高浇注精度，要求混凝土泵车在作业过程中尽可能保证混凝土输送的稳定性。

(2)在混凝土泵车臂架的前期结构设计阶段，预先考虑载荷的不确定性并且预估其可能的最坏结果，在结构设计中充分考虑流量载荷及结构参数的不确定性并开展混凝土泵车臂架系统的不确定性优化设计，可在浇注精度满足要求的前提下为泵车臂架结构的设计提供有益指导。

[1] KLEBER M, HIEN H D. The Stochastic Finite Element Method: Basic Perturbation Technique and Computer Implementation[M]. Chichester: John-Wiley, 1992.

[2] 秦权，林道锦，梅刚. 结构可靠度随机有限元:理论及工程应用[M].北京: 清华大学出版社, 2006.

QIN Quan, LIN Daojin, MEI Gang. Stochastic FEM of Structural Reliability: Theory and Engineering Application[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2006.

[3] BREITUNG K W. Asymptotic Approximations for Probability Integrals[M]. Berlin: Springer, 1994：89-95.

[4] NIGAM N C. Introduction to Random Vibrations[M]. Cambridge: The MIT Press, 1983.

[5] ALLEGRI G, CORRADI S, MARCHETTI M. Stochastic Analysis of the Vibrations of an Uncertain Composite Truss for Space Applications[J]. Compos. Sci. Technol.,2006, 66 (2): 273-282.

[6] PREUMONT A. Random Vibration and Spectral Analysis[M]. Berlin: Springer Science & Business Media, 2013.

[7] 冯嘉珍. 不确定因素影响下的空间柔性机械臂动力学建模及仿真研究[D].北京邮电大学,2011.

FENG Jiazhen. Research on Dynamics Modeling and Simulation of the Space Flexible Manipulator with Uncertainty[D]. Beijing: Beijing University of Posts and Telecommunications, 2011.

[8] 李金平,焦生杰,彭继文, 等. 履带起重机臂架结构可靠性分析[J]. 长安大学学报(自然科学版), 2015, 35(4): 153-158.

LI Jinping, JIAO Shengjie, PENG Jiwen， et al. Structural Reliability Analysis of Crawler Crane’s Boom[J]. Journal of Chang’an University(Natural Science Edition), 2015, 35(4): 153-158.

[9] 赵宽,陈建军,曹鸿钧,等. 随机参数双连杆柔性机械臂的可靠性分析[J]. 工程力学, 2015, 32(2): 214-220.

ZHAO Kuan, CHEN Jianjun, CAO Hongjun, et al. Reliability Analysis on Two-link Flexible Robot Manipulator with Random Parameters[J]. Engineering Mechanics, 2015, 32 (2): 214-220.

[10] 宛佳飞. 不确定性移动机械臂的轨迹跟踪控制研究[D].长沙：湖南大学,2015.

WAN Jiafei. Research on Mobile Manipulators Trajectory Tracking Control with Uncertainty[D]. Changsha: Hunan University, 2015.

[11] 杨峰．机器人机械臂模态分析及可靠性分析[D]. 南京：南京理工大学，2013．

YANG Feng. Modal Analysis and Reliability Analysis of Robotic Manipulator[D]. Nanjing: Nanjing University of Science and Technology, 2013.

[12] 刘振国,武玉强. 随机激励下单杆柔性关节机械臂的建模与控制[J]. 控制理论与应用,2014,31(8):1105-1110.

LIU Zhenguo, WU Yuqiang. Modeling and Control for Single-link Flexible-joint Arm with Random Disturbances[J]. Control Theory & Applications, 2014, 31(8): 1105-1110.

[13] BEN-HAIM Y, ELISHAKOFF I. Convex Models of Uncertainties in Applied Mechanics[M]. Amsterdam: Elsevier Science Publisher, 1990:147-148.

[14] JIANG C,HAN X, LU G Y, et al. Correlation Analysis of Non-probabilistic Convex Model and Corresponding Structural Reliability Technique[J]. Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,2011, 200: 2528-2546.

[15] JIANG C, NI B Y, LIU N Y, et al. Interval Process Model and Non-random Vibration Analysis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 373:104-131.

[16] LI J W, NI B Y, JIANG C, et al. Dynamic Response Bound Analysis for Elastic Beams under Uncertain Excitations[J]. Journal of Sound and Vibration, 2018, 422: 471-489.

[17] 王相兵. 工程机械臂系统结构动力学及特性研究[D].杭州：浙江大学，2014.

WANG Xiangbing. Research on Structure System Dynamics and Characteristics of Engineering Mechanical Arm[D]. Hangzhou: Zhejiang University, 2014.

[18] 陈宜通. 混凝土机械[M]. 北京：中国建材工业出版社，2002：42-43.

CHEN Yitong. Concrete Machinery[M]. Beijing: China Building Materials Press, 2002：42-43.

[19] CLOUGH R W， PENZIEN J. Dynamics of Structures[M]. New York: Mc-Graw Hill Inc., 1975： 42-43.