0 引言

不平衡问题是旋转机械存在的重要问题之一，给机械带来振动、噪声和部件疲劳破坏等不利影响。要对旋转机械的不平衡量进行检测，必须用到动平衡机。转子的平衡质量受平衡机检测精度控制，而摆架结构是决定其检测精度的关键，因此有必要对摆架结构进行研究。

动平衡机按摆架结构可分为单面立式平衡机、双面立式平衡机、双面卧式平衡机[1-3]。双面卧式平衡机目前普遍采用的测量算法是ABC法，该算法提出，转子不平衡量只与摆架结构有关，只需知道支承到校正平面的距离，即可实现永久标定。事实上，ABC法建立在单自由度的平动系统上，忽略了扭摆效应带来的误差，标定误差较大。双面立式平衡机的测量方法与ABC法类似，相较于卧式平衡机，它还存在静偶分离效果不佳的问题。为此，文献[4]采用传统的静力学处理方法分析造成分离效果不佳的原因为摆架的扭转因素，并提出若要提高摆架静偶分离效果需提高扭转刚度与平动刚度的比值；而且该文未提出扭转刚度是变量的观点。文献[5-6]为实现摆架的静偶分离，对摆架结构进行了改进，并设计出静偶分离式摆架结构以消除偶动对平动的影响，实验证明这种摆架的静偶分离效果明显。

对于单面立式平衡机，目前企业普遍采用的结构仍是传统的摆架结构，多采用三点法或影响系数法进行永久标定。通过施加试重，得到传感器的振动响应值，将试重引起的不平衡力与传感器的振动相应的比值作为传感器的比例系数，以实现永久标定。改进后的测量方法中大部分都建立在三点法或影响系数法基础上[7-9]，虽然在一定程度上提高了测量精度，但是误差依然很大。国内外也有学者尝试在转子上添加主动平衡装置来实现动平衡。这种主动平衡装置也被称为平衡头，常见的有电磁式[10-11]、喷液式[12]和滚珠式[13-15]3种。虽然这3种平衡头能自动测量不平衡量和不平衡角度，但是结构复杂且质量较大。在平衡过程中，虽然抵消了工件的不平衡力，但是由于平衡头的校正位置不在工件校正平面上，因此增大了不平衡力偶，从而影响测量的精度。

笔者发现当对单面立式平衡机进行永久标定时，工件质量或者位置变化会带来较大的标定误差，因此，有必要对误差来源进行探究。在力学分析上，以往的文献绝大多数将单面平衡机摆架视作单自由度的平动系统，很少从扭转的角度分析摆架结构以及误差来源。因此，本文以盘类转子为研究对象，从平衡机的摆架结构出发，分析扭摆效应对标定误差的影响。

1 单面立式平衡机振动特性分析

1.1 振动系统的运动学方程

图1为单面立式平衡机的摆架结构。摆架结构主要由摆架座、簧板、转子支承、主轴、工件、传感器组成，l、b、h分别为簧板的长、宽、高。电机经皮带轮带动主轴旋转，安装有主轴的摆架用两个平行簧板支承。工件通过夹具与法兰安装到主轴上。当主轴和工件以一定角速度旋转时，工件上的不平衡量引起的振动通过转子支承传递给簧板，并由压电式振动加速度传感器检测不平衡振动。

整个摆架系统可处理成二自由度的振动系统，如图2所示。主轴在不平衡作用下发生偏移和摆动，O、C分别为偏摆前后的主轴质心，以O为原点建立坐标系OXYZ。不平衡质量为m0，工件质量为m，半径为r，主轴质量为M，主轴转速为ω，将工件和主轴视为同一转子，不平衡量U0到转子质心的距离为H。整个摆架系统可以等效为随质心C在Y轴方向上的平动和绕质心C的摆动，故转子旋转轴线上必存在一个不动点，把该点称为系统的振动中心[16]，记为O1。θ为转子绕质心的扭转角度。设簧板对支承转子的垂直刚度为K′，由于K′很大，故不计支承转子在垂直方向对簧板的影响。与此同时，考虑到扭转角θ很小，因此不平衡力F在Z方向的分量可忽略不计。不考虑系统阻尼，系统的运动微分方程为

(1)

式中，y为转子质心C在Y轴方向的位移；K1为簧板的平动刚度；IX为转子相对X轴的惯性矩；b0为传感器到转子质心的距离；F为工件不平衡量U0引起的离心力，F=ω2U0cosωt。

设分别为系统平动和扭摆的固有频率，式(1)可转换为

(2)

利用式(2)求得y和θ：

(3)

1.2 系统振动中心的确定

在图2所示的摆架图中，设L为系统振动中心到转子质心的距离，由于扭转角度θ很小，所以θ≈tanθ。系统振动中心位置为

(4)

其中，系统振动中心的位置L是ωθ、ωY、K1、b0、M、IX、ω、m、H的函数，对于给定的转子-支承系统而言，ωθ、ωY、K1、b0、M、IX都是定值。因此，振动中心的位置只与工作转速ω、工件质量m和工件位置H有关。假设ωθ、ωY、K1、b0、M、IX、m、ω、H的值已经给定，如表1所示。

振动中心位置与平衡转速ω、工件位置H以及工件主轴质量比m/M的关系分别见图3、图4和图5。由此可知，振动中心位置随转子转速增大而增大，随工件位置以及工件主轴质量比的增大而减小。

2 单个簧板绕振动中心的扭转刚度分析

当系统的振动中心确定时，簧板作扭转时的扭转中心为振动中心，而非簧板质心，此时簧板处于约束扭转状态。对于矩形截面杆件，因约束扭转产生的正应力很小，与自由扭转并无太大差别[17]，这里以自由扭转状态来简化模型。单个簧板绕振动中心的扭转示意图见图6。设簧板截面中心为G，绕系统振动中心的扭转角为θ，簧板截面初始位置相对于振动中心初始位置的坐标为(Y1,Z1)，簧板上截面所受的力和扭矩可等效为F0和M0，分别求出簧板在F0或M0作用下的绕振动中心的扭转刚度。

图7为簧板在力F0作用下弯曲变形时截面的位移图。设簧板质心G在F0作用下的位移为H0，由于θ很小，可近似认为F0的方向与O1G垂直，则扭转刚度K21可表述为

(5)

(6)

θ ≈ tan θ=H0/|O1G|

(7)

设O1G与Z方向的夹角为β，将力F0分解为Y方向的力F1和Z方向的力F2，设簧板截面在F1、F2作用下的位移分别为Δl1和Δl2。簧板在F1作用下的变形量Δl1如图8所示。由于簧板上端面在移动的过程中保持水平，故在模型处理上将其视为上下反对称的两段悬臂梁结构，则F1作用下的变形量Δl1为

Δl1=2d

(8)

根据材料力学理论，悬臂梁的挠度d为

(9)

IZ=hb3/12

结合式(8)、式(9)，变形量Δl1可写为

(10)

同理可得矩形簧板在F2作用下的弯曲变形量为

(11)

综合式(5)～式(7)、式(10)、式(11)，簧板在F0作用下的扭转刚度K21为

(12)

在扭矩M0作用下，簧板的扭转中心为截面中心，根据矩形截面杆的扭转刚度公式可得到簧板的扭转刚度K22为

(13)

式中，G为材料的切变模量；β1为与比值h/b有关的系数，当h/b>10时，β1取1/3。

根据式(12)、式(13)，簧板绕振动中心的扭转刚度K2可表示为

(14)

由式(14)可知，扭转刚度K2与簧板尺寸、簧板水平位置Y1和竖直位置Z1有关。K2与l、h、b、Z1、Y1的关系见图9。很明显，h、b、Z1、Y1越大或l越小，簧板的扭转刚度越大。在设计平衡机摆架结构时，为了增加簧板的扭转刚度，需要增大簧板的截面尺寸、减小簧板长度。另外，应使簧板远离振动中心。

3 实验与分析

3.1 工件质量对传感器比例系数的影响

动平衡实验装置如图10所示，主要由机械本体和电测装置组成。在图10a的机械本体中，簧板尺寸l、b、h分别为280 mm、6 mm、270 mm，所用工件均为动平衡处理后的标准工件，质量分别为3.5 kg、4 kg、4.5 kg、5 kg、5.5 kg、6 kg，试重实测质量为9.98 g、20.02 g、30.01 g、39.97 g(见图11)，转子平衡转速为782 r/min，加重半径为80 mm。图10b所示的电测装置采用上下位机相连的方式，以实现信号的传递和显示。

对不同工件下的初始振动进行20次重复测量并取平均值R0，结果分别为：11.65 mV、13.80 mV、13.14 mV、12.74 mV、12.93 mV、14.21 mV。表2为不同试重下的传感器示数，9.98 g试重产生的不平衡力为

工件质量为3.5 kg时对应的传感器的比例系数为

各工件质量下的传感器比例系数对应图12中的散点，采用三次曲线对散点进行拟合，其在各测试点的相对误差均小于3%,表达式为

PS=4.908+0.109m-0.023m2-0.003m3

(15)

可以看出，当试重质量不变时，振动传感器的比例系数随工件质量的增大呈非线性下降趋势，而非定值。比例系数作为传感器的固有参数，不应随外界变化而变化，因此永久标定式的单面立式平衡机在测量方法上是存在较大误差的。其原因在于，随着工件质量的增大，振动中心向系统质心移动，系统的扭转效应加强，传感器示数随之增大，从而比例系数减小。

3.2 工件位置对传感器比例系数的影响

实验采用的工件质量为3.5 kg，所用夹具见图13，通过改变调整块的高度来调整工件位置，工件由低到高均匀设有位置1,2,…,6，相邻位置间距为20 mm。表3所示为不同工件位置下的传感器读数。图14所示为传感器比例系数及拟合曲线(三次曲线)。拟合曲线在各测试点的相对误差均小于2%，表达式为

PS=5.031 + 0.133i- 0.010i2- 0.001i3

(16)

式中，i为工件的位置编号。

不难看出，传感器比例系数随工件位置的上升呈非线性下降趋势。根据理论分析可知，工件位置上升，振动中心接近系统质心，导致簧板的扭转刚度降低，使得系统的扭转效应增强。因此，工件位置变化也会对扭转效应产生影响。同时，系统的扭转效应随工件位置变化呈非线性变化规律。因此，工件位置变化也会带来较大的测量误差。

3.3 簧板扭转刚度验证

以工件质量引起的扭转效应变化实验为例，通过计算，对实验所测扭转刚度值与理论扭转刚度值进行比较。单个簧板的平动刚度为代入式(4)，得到振动中心位置L=889.88 mm。簧板中心与振动中心的距离Z1=850.91 mm。结合式(14)，簧板的理论扭转刚度为K2=4.179 571 655×105 N·m/rad。其中，由于h/b>10，β取1/3。弹性模量E为2.06×1011 Pa，剪切模量G为7.923×1010 Pa。

以拟合曲线上各测量点所对应的值为实验值，当工件质量为3.5 kg、试重质量为30.01 g时，传感器读数为R1=3 277.35 mV，传感器的比例系数为PS=4.879 1×10-3。簧板扭转刚度的实验值K′2由下式求得

(17)

代入数值，得到K′2=4.556 578 118×105N·m/rad。

实验所得的簧板扭转刚度K′2相对于理论扭转刚度K2的误差率

图15中的两条曲线分别对应簧板的实验扭转刚度值和理论扭转刚度值。可以看出，理论扭转刚度和实验扭转刚度随工件质量的增大呈非线性减小规律。当工件质量为3.5 kg时，误差率ε最大，为9.02%，说明用扭转刚度公式估计实验扭转刚度是较为合理的。

3.4 永久标定误差分析

对表2和表3的数据做进一步处理，分别得到表4和表5。表4中：①为表2中根据传感器的初始振动和9.98 g试重时的振动信号计算的在不同工件质量的影响系数；②为由影响系数和初始振动计算的初始不平衡量；③为由影响系数和39.97 g试重时的振动信号计算的不平衡量；④为计算得到的不平衡量与已知不平衡量的误差率；⑤⑥、⑦⑧、⑨⑩分别为按3.5 kg、4 kg、4.5 kg工件永久标定时其他工件质量的不平衡量，以及不平衡量与已知不平衡量的误差率。表5编号与表4类似。

表4和表5表明，按不同的工件质量或工件位置标定，误差较小，最大误差率为1.51%，测量精度较高；按同一工件质量或工件位置进行永久标定，得到的不平衡量相较于已知不平衡量的测量误差较大，最大值为34.41%，且标定质量与测试质量、标定位置与测试位置的差值越大，其测量误差越大。因此，对于永久标定式的单面立式平衡机，因扭转效应带来的测量误差不可忽略。

4 结论

(1)单面立式平衡机的测量方法存在较大误差的主要原因是将摆架结构处理为单自由度的平动系统，忽略了摆架扭转效应带来的非线性变化。

(2)当处理成平动系统时，系统的振动中心理论上在转子轴线上的无穷远处，簧板的扭转刚度近似为无穷大；考虑扭转效应时，振动中心的位置及簧板的扭转刚度是有一定范围的。振动中心位置与转子转速、工件质量和工件位置有关。对于给定的转子-支承系统，转速越高、工件质量越大、工件位置越远，振动中心越接近转子质心。簧板的扭转刚度与其尺寸位置有关，当位置一定时，振动中心距转子质心越远，簧板的扭转刚度越大。

(3)工件质量和位置是影响扭转效应的主要因素。扭转效应的非线性体现为传感器比例系数的非线性变化。工件质量越大、位置越远，传感器比例系数降低越快，摆架系统的扭转效应越强。

(4)通过对工件质量、工件位置的永久标定误差分析，发现工件质量、位置与标定点相差越大，测量误差也越大。说明单面立式平衡机的测算方法以及摆架结构存在不合理性，这为优化测算方法和结构提供了依据。

(5)本文虽然指出了单面立式平衡机永久标定误差主要来源，但是没有提出一套针对扭转效应的测量算法或摆架结构。目前课题组已经开展固定振动中心的单面摆架研究，以实现摆架扭转和平动的分离，并取得了初步进展。

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Influences of Workpiece Masses and Positions on Measurement Errors for Single-plane Vertical Dynamic Balancing Machines

WANG Qiuxiao WANG Dequan TAN Jian FU Xiaoyan ZHANG Guangyan

School of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing, 400044

Abstract:Aiming at the large measurement errors of permanent calibration single-plane vertical dynamic balancing machines under different workpiece masses or heights, a method for analyzing the error sources was proposed by using torsion effects of swing frame. The swing frame system was processed as a 2 DOFs system, and the kinematical equations of the swing frame structure were established based on theoretical mechanics. The position formula of system vibration centers was derived, and the influences of rotation speeds, workpiece positions and masses on the vibration center positions were analyzed. The formula of torsional stiffness of spring plate around the vibration center was deduced, and the relationship between torsional stiffness and vibration center position was analyzed.The torsion effect law which changed with workpiece masses and positions was verified from experiments, and the correctness of torsional stiffness formula of spring plate was proved.The permanent calibration errors were analyzed.The maximum error rate is of 34.41%.It reveals the irrationality of permanent calibration method and provides a reference for optimizing measurement methods.

Key words:permanent calibration; single-plane vertical dynamic balancing machine; torsion effect; torsional stiffness

收稿日期：2018-04-09

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51175529)

中图分类号：TH6

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2019.016.002

开放科学(资源服务)标识码(OSID)：

(编辑 王旻玥)

作者简介：王秋晓，男，1963年生，副教授、博士。研究方向为动平衡理论和机电一体化技术。发表论文20余篇。E-mail:wqxiao1963@163.com。