0 引言
由于确定性状态转移和不确定性状态转移同时存在于数控机床的运行过程中，系统运行过程中故障的发生在宏观上呈现出随机性。确定性状态转移包含了机床在正常工作过程中各零部件完成相应功能时的各种运动。不确定性状态转移指的是零件在微观层面的变化逐渐累积，并最终影响系统稳定运行的过程。对于机床产品的设计者和使用者而言，机床确定性状态转移是完成相应功能的保障，而不确定性状态转移会给系统带来潜在故障。然而，这两种状态转移是紧密相连和相互影响的。机床在运行过程中的各项运行参数直接决定了系统运行的可靠性。因此，数控机床产品运行过程中的故障研究主要由两方面构成，即运行过程的在线监控系统研究和运行可靠性建模与控制分析[1-7]。在线监控系统适用于机床故障易于监测、故障敏感参数与故障之间有强关联的情况。例如，对于运行过程中的电流、切削力、振动特征信号进行监测，从而判断机床是否发生故障。这种方式能够准确、实时地对机床的运行过程进行监控，避免产生进一步的损失，但成本较高，并且需要改变产品结构，造成运行精度和稳定性的下降。后者的适用面相对较广，以故障的历史数据和统计分析结果作为控制的依据。
当前，数控机床故障建模集中在整机运行过程中的故障发生概率的计算上，具有较大的局限性[8-12]。然而，计算的前提是系统在规定条件和规定功能下的理想状态，无法与机床实际的工作状态统一。此外，故障的具体发生原因不能定量地体现在系统的运行过程以及故障分布模型中。因此，本文提出了元动作链方法(meta-action chain methodology，MCM)，对具体的故障原因进行定量建模，能够为故障分布模型提供支撑，从而实现宏观模型与微观模型的充分融合。在建模思路上，本文首先利用元动作结构链对整个系统的结构进行描述，得到数控机床元动作的全集。再根据机床运行过程的时序图即运行信息，利用元动作运行链对整个机电系统的状态变化进行描述。得到整个系统随时间的状态变化情况后，每一个元动作的状态变化也相应得到，使之能够与各元动作的故障原因信息结合，从而对每一个独立元动作的可靠度进行计算。最后，将所有元动作的可靠度进行融合，得到数控机床整个系统在运行过程中的可靠性动态变化情况。
1 元动作理论
图1 FMA结构化分解
Fig.1 FMA structural decomposition
FMA(function-motion-action)即“功能—运动—动作”分解方法是针对传统分解方法完全从结构角度分解缺陷所提出的机电产品精细化分析分解方法，如图1所示，其优势在于能够将机电产品分解得到最小运动单元——元动作单元[13]。元动作分解方法能够从机电产品故障发生的最小单元入手进行分析，实现真正意义上的“独立不可分”，因此，已经被应用在装配可靠性分析以及精度控制评估的研究中。此外，元动作建模能够建立起故障与部件运动的映射关系，即该方法同时考虑了系统的状态转移和系统的结构信息，从而实现了对复杂机电系统装配可靠性的充分分析。
作为本文建模方法的基础，李冬英[13]对FMA结构化分解方法进行了比较系统的研究，此处不再赘述。此外，基于元动作理论的静态可靠性建模已经有了一定的理论基础和实际应用。我们对FMA树中各个元动作单元的同代和异代耦合特性进行了解耦分析[14]；对复杂机电产品进行了基于元动作分解的可靠性建模及故障诊断[15]；建立了元动作装配单元误差传递模型及有效路径求解方法[16]。这些研究从结构化分解方法、元动作建模方法、可靠性分析与控制以及整机可靠性综合等多方面对元动作方法进行了分析与运用。已有的研究能够针对机械结构的具体运动进行精确分析，因而相比以往单一从系统结构层面进行可靠性分析的方法有很大优势。针对传统可靠性分析方法的缺陷，本文提出了元动作链方法。该方法在元动作结构单元的基础上进一步深化建模，从而实现对数控机床结构信息、运行状态信息、失效原因信息的综合建模和分析。和已有的元动作研究相比，本文侧重于系统可靠度的动态评估，从而将宏观的系统可靠度与微观的元动作失效机制联系起来，实现数控机床运行过程中的可靠性信息融合，提高建模的实用性和准确性。
2 数控机床整机元动作链可靠性建模
目前，元动作结构建模侧重于对数控机床产品最基本的运动单元进行分析，从而实现装配可靠性和精度保持性敏感参数的精确控制。但是，机床产品的微观失效原因和运行信息并没有集成到模型中。
本文提出的元动作链模型由元动作结构链(meta-action structure chain)与元动作运行链(meta-action operating series chain)共同表示系统的运行状态。
定义1 (元动作链) 元动作链是将元动作按照FMA树进行有序链接，用来表示系统将运动由动力源传递到特定执行机构的元动作集合。
定义2 (元动作结构链) 对数控机床进行FMA结构化分解，对分解得到的所有元动作建立元动作链，所得到的元动作链全集叫做系统元动作结构链。系统元动作结构链包含该系统完整的结构信息，其建立对象是整个系统。
所建立的单条元动作链以及系统元动作结构链如图2所示。
图2 系统元动作结构链
Fig.2 Meta-action structure chain
在建立的系统元动作结构链中，共有I个链外动力输入。动力输入记为P，系统元动作结构链中，元动作记为AS。元动作结构链是所有元动作的集合，包含了元动作运行链的所有元素。每条链的输出是系统的执行机构，记为O。
本文选取THM6380加工中心的数控转台作为验证所建立模型的研究对象。THM6380的结构如图3所示，数控转台的结构如图4所示。
图3 THM6380加工中心的总体结构示意图
Fig.3 The overall structure diagram of a THM6380
machining center
1.工作台 2.公锥 3.密封罩壳 4.上齿牙盘 5.下齿牙盘
6.电机 7.齿轮轴轴承 8.蜗轮 9.升降缸 10.锁紧缸油路 11.升降缸油路 12.回转体轴承 13.大弹簧 14.拉钉
图4 数控转台结构示意图
Fig.4 NC rotary table structure diagram
系统元动作结构链的建立如图5所示。此处，建立的系统元动作结构链包含三条链。这三条链独立地完成各自的运动，并且根据系统的运行时序确定元动作的运动顺序和时长。
图5 数控转台元动作结构链
Fig.5 Meta-action structure chain of NC rotary table
为了对数控机床的结构和运行信息充分建模，所建立的元动作链不能够进一步划分成更小的元动作链，以保证元动作链之间的独立性。另一方面，元动作结构链要能够完整地表达出系统的结构信息，不能有元动作描述的缺失和模糊，从而确保在系统可靠性建模时有准确输入。
定义3(元动作运行链) 根据数控机床的运行模式确定系统运行过程的功能序列，利用元动作链对系统在该运行过程中的每一个状态进行建模，得到的系统运行过程中的所有状态转移过程叫做系统状态元动作运行链(图6)。
图6 系统状态元动作运行链
Fig.6 Meta-action operating series chain
数控机床按照一定的功能序列运行。从功能1到功能F，系统状态的变化从S11到 SFfF。SFfF表示功能F的第fF个状态；fi表示第i个功能的所有状态数。在状态S11中，一共有S11个元动作运行。在工作循环中，元动作运行链用于描述系统运行状态的变化。A11,1是元动作在运行链中的表述，它表示在功能1的第1个状态中的第1个元动作。元动作运动链对应到元动作结构链时，类似于程序变量的赋值操作，例如，
表示A11,1这个元动作为结构链中的
该数控转台根据其典型运行时序可以分解出两个功能：工作台交换和工作台分度。系统所经历的状态有S11(工作台回零)、S12(电液阀转换)、S13(工作台抬起)、S14(工作台旋转180°)、S15(电液阀转换)、S16(工作台下降)、S21(端齿盘抬起)、S22(分度工作台)、S23(端齿盘下降)。在这些状态持续的过程中，有对应的元动作完成相应的动作，以S11工作台回零为例，动作的元动作有
那么S11状态的数学表达就是这些元动作的集合。该系统在标准状态下的元动作运行链如图7所示。
图7 数控转台元动作运行链
Fig.7 Operating series chains of the functions
在本文中，元动作运行链可以充分描述数控机床的运行状态，并且利用与标准运行状态的对比，来判断系统是否发生了故障(到达了故障状态)。对系统在运行过程中的所有状态的集合进行定义，该集合为机电系统的运行状态空间。
定义4 (系统元动作链运行状态空间) 数控机床在运行过程中，由元动作运行链所构成的所有运行状态的集合称为元动作链运行状态空间。为确定系统的每个状态，元动作运行链被表示为布尔型变量矩阵。元动作的全集表达为
(1)
其中，Ni是第i个动力输入对应的元动作数量。因此，系统的状态可表达为一维矩阵，其中元素
例如，如果
那么可以得到状态矩阵
MS11= [1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1]
在标准的机床运行时序中，元动作的状态变化都以确定的路径进行转移。如果系统转换到一个与预计状态不同的状态(状态矩阵不相等)，则判定该元动作发生了故障。以此为基础，数控机床的运行可靠性计算转化为系统在实现给定运行时序的过程中，以标准路径完成所有状态的概率。图8给出了一个例子来表达这一建模过程。4个元动作构成该系统，运行时序由状态S11转换到 S22。图8中，如果系统转换到一个错误的状态，则用虚线路径表示，判定故障发生。
表示系统从状态i 转换到状态 j 经过 n 步的概率。
建立系统状态转换有向图的目的在于精确表达数控机床的标准运行状态转移路径以及所有可能的故障形式，实现产品运行过程与可靠性模型的精密结合。
数控转台的元动作全集为
具体对应关系见元动作结构链。
时序图(sequence diagram)又名序列图、循序图、顺序图，是一种统一建模语言或标准建模语言(unified modeling language，UML)交互图。它通过描述对象之间发送消息的时间顺序显示多个对象之间的动态协作[7]。图9为数控转台的运行时序图，它反映了额定状态下工作台角度随时间变化的情况。θ为工作台转角， L为系统载重，p为液压油缸压力，n为转动速度。
图8 系统状态转换有向图
Fig.8 State transition directed graph
图9 数控转台系统运行时序图
Fig.9 Timing sequence diagram of the system
在图9中，θ1=5°，θ2=10°，θ3=15°，θ4=20°，L=500 kg，p=6.5 MPa，n=1.2 r/min。该工作循环的运行时间为1 h (3 600 s)，同时，工作台每次都需要在工作循环前更换，时间为5 min (300 s)，因此，总的运行时间为3 900 s。采样间隔时间δ 被定为1 s，系统在时间δ内的状态是不发生变化的。nd为采样数目，nd=3 900。运行状态矩阵M为3 900×12维，如图10所示。
图10 运行状态矩阵M
Fig.10 Operating states matrix M
由于3 900个采样数目太大，此处给出了前4个状态作为运行状态矩阵M的说明。该过程共经历4个状态，由S11变化到S14，第一个状态包含45个采样间隔时间，
中的
在运行，MS11= [1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0]。
作为系统宏观可靠性与零件微观失效的联系，元动作链不仅能表达出数控机床系统的状态转移情况，还能够由系统的运行表达出具体元动作的状态转移情况。元动作的状态转移情况被包含在元动作运行状态空间中。
定义5(元动作运行状态空间) 数控机床在运行过程中，单个元动作所经历的状态变化序列称为该元动作的运行状态空间。
从微观的角度分析，不同的系统运行状态矩阵对于元动作的故障状态激发的程度也是不同的。取矩阵的某一列来看，这一列表示特定元动作在给定功能中的状态转变过程(图11)。
图11 特定元动作状态转变过程
Fig.11 States change of specific meta-action
在图11中，特定元动作在机床运行过程中的状态转移情况，可以通过状态转移矩阵M中该元动作所在列的状态变化来表达。这样建模的优势在于，分析具体元动作的故障时，能够充分利用数控机床的运行信息，与机床实际的运行时序建立联系。运行过程的状态变化对于各元动作的不同失效原因的激发影响很大，只有在建模中融合运行状态信息，才能针对不同的失效原因计算相应的失效率函数。
3 元动作磨损故障分析及系统可靠度计算
本节以元动作磨损故障为例，介绍微观失效的分析，再通过系统可靠性建模计算数控转台的运行可靠度。元动作磨损类型的故障以摩擦副的故障分析作为主导因素，依照图12所示流程进行元动作的磨损失效原因分析。
图12 磨损故障底事件分析流程图
Fig.12 Flow chart of failure mechanism analysis process
磨损失效主要发生在元动作
(即蜗轮转动)，因此，以该元动作作为研究对象，说明磨损故障底事件的分析流程。利用故障树分析方法，得到蜗轮转动磨损失效形式下的故障底事件为齿面磨损。
本节中，在系统中的状态变化情况为
根据系统的运行状态变化矩阵可得到
它是3 900×1的向量，即
向量中，1的计数代表运行时间，0的计数代表间隔时间，以此能够描述元动作在系统运行过程中的状态变化。
目前，磨损研究通常利用线性时间序列和非线性时间序列这两种方法对磨损量进行预测。国内外许多学者提出了SETAR (self-exciting threshold autoregressive model)预测模型、指数自回归预测模型、拟线性自回归预测模型以及双线性模型等多种非线性模型对时间序列进行预测[17-18]。在此基础上，人们提出了非线性组合预测方法，使得机电系统磨损的建模日趋完善。将最小二乘支持向量机(least square support vector machine,LSSVM)用于对磨损建模。给定一个训练集[17]：
其中，xi为模型的样本输入；yi为模型的输出；l为样本数，样本属于实数空间正交平面(χ×γ)。对这些样本点进行非线性回归估计，从而将原先低维特征空间映射到高维，即
h(X)=wSφ(X)+b
(2)
其中，w为拟合样本；b为偏置值；φ(X)为非线性映射函数。优化问题则为
(3)
s.t. yi=wφ(Xi)+b+ei i=1,2,…，m
式中，ei为误差项；C为正则参数，C>0。
为了求解上述约束优化问题，将其转化为无约束优化问题，构建Lagrange函数如下：
其中，αi是Lagrange乘子，依优化条件有
则有
q=[1 1 … 1]T
α=[α1 α2 … αm]T
y=[y1 y2 … ym]T
根据试验结果可以确定核函数为径向基核函数：
K(xi,xj)=exp(-g‖xi-xj‖2)
(4)
则LS-SVM回归模型可以表示为
(5)
该过程如图13所示[17]。
图13 LSSVM组合预测模型流程
Fig.13 Process of LSSVM modeling
磨损量的计算通过测量分度圆弦齿厚的平均变化得到，测量方法如图14所示。
(a)分度圆弦齿厚测量示意图 (b)分度圆弦齿厚位置
图14 分度圆弦齿厚测量方法
Fig.14 Measuring method of reference circle
chordal tooth thickness
分度圆弦齿厚的基准为齿顶圆，利用齿厚卡尺进行测量。调整齿厚卡尺上的微调装置并紧固螺钉，使得齿高尺的游标尺示值为弦齿高hc。定位完成后，将齿高量爪放在被测的齿顶上，并用齿厚固定量爪紧贴齿廓。重复上述步骤，调整微动装置，使活动量爪和固定量爪与齿面对称接触，并垂直于齿轮轴线。实际弦齿厚在齿厚尺游标上可以读出。测量一般在每相隔90°的4个齿上进行。
齿厚磨损的测量值用符号yt表示，其中，下标t表示t时刻。为了对磨损量进行建模预测，选取幂函数拟合、指数函数拟合、多项式函数拟合。分别拟合出x1t、x2t、x3t作为训练的组合样本输入，单项预测误差分别为E1t、E2t、E3t。此外，利用试验进行实际分度圆弦齿厚的测量，测量间隔时间为24 h，得到50组实际样本。
50组数据分为两部分，前35组数据作为单项预测函数的输入，并将预测结果的外推数据与后15组数据进行对比。组合预测样本选取前35组、40组、45组数据进行样本训练，得到组合预测样本y35t、y40t、y45t，并利用剩余的样本验证。由于实际测量精度为0.02 mm，预测样本的精度也被控制在0.02 mm，使得预测样本和预测函数之间存在一定的差异。所建立的模型利用MATLAB中的cftool拟合工具箱和LS-SVM工具箱进行拟合和训练，由预测结果可以看出，单项预测对磨损量预测的精度较低。预测样本处的单项预测拟合精度较高，但是，外推数据的精度很低，单一的预测函数无法对磨损量的变化趋势进行准确预测。原因在于，磨损量并不是由单一的磨损原因产生的，即使前期微小的趋势差异也会对后期的数值产生很大影响。使用组合预测能够显著提高磨损量的预测精度，从而满足对磨损量的预测要求，结果如图15所示。具体预测结果精度如表1所示。
(a)幂函数预测结果 (b)指数函数预测结果 (c)多项式函数预测结果
(d)70%样本比例组合预测结果 (e)80%样本比例组合预测结果 (f)90%样本比例组合预测结果
图15 分度圆弦齿厚预测曲线及外推误差
Fig.15 The prediction curves and extrapolation error
表1 预测结果及误差对比
Tab.1 Prediction results and errors
预测方法平均预测误差绝对值|E|最大误差比例(%)x1t0.1429x2t0.1538x3t0.037y35t0.023.5y40t0.012.1y45t0.0020.9
根据表1中的数据，该元动作蜗轮转动的磨损量可以利用LS-SVM的组合预测模型有效预测，并且能够通过增加样本数量来提高预测精度。磨损量与磨损失效之间存在直接的映射关系，因此，需要计算磨损故障的判据。本文通过对50组齿面磨损失效的磨损量进行实际测量，分析故障发生时磨损量的分布规律。根据对磨损量的正态分布检验，在置信度α=0.05进行t检验，结果表明故障发生时的磨损量符合正态分布(表2)。
表2 磨损量正态分布拟合及检验结果
Tab.2 Prediction fitting and testing results
under normal distribution
NμσHtαyb501.810.8201.650.05
计算在t时刻的齿面磨损故障发生概率，即计算实际磨损量yt大于故障发生时磨损量yb的概率：
F(t)=P(yt>yb)
据此得到齿面磨损故障底事件的概率曲线如图16所示。
图16 蜗轮齿面磨损故障底事件发生概率
Fig.16 The probability of wear fault of worm gear teeth
此处，需要注意的是元动作的运行时间并不是系统的运行时间，而是实际元动作运行过程中经历的运行状态变化数量，从而使元动作可靠度的计算能够与系统的运行相结合。
通过系统的可靠性模型对所得到的元动作故障底事件的概率曲线进行综合，得到整机的可靠度曲线，过程如图17所示。
图17 数控机床运行故障概率综合
Fig.17 The flow chart of comprehensive probability
analysis for CNC tool
图17中，Ai表示第i个元动作，该元动作有NAi个故障底事件。故障底事件的概率首先综合到具体的元动作上，元动作所有故障底事件在此处被认为是独立事件，因此，元动作的可靠度RAi为
(6)
其中，
为元动作Ai第l个故障底事件发生的概率。而整机的可靠度又是通过元动作的可靠度保证的，即
(7)
其中，Fsys为系统发生故障的概率；Rsys为系统瞬时的可靠度函数；K为系统中元动作的总数。最终得到整机的可靠度曲线见图18。
图18 标准运行模式下数控转台威布尔分布与
元动作链方法可靠性评估
Fig.18 Reliability estimation for the NC rotary table
with MCM and Weibull distribution
由图18可以看出，元动作链方法计算出的可靠度曲线与威布尔分布计算出的可靠度曲线在开始阶段都是平稳下降，并且相差不大。但是，当系统运行进入到3 000 h后，机床中各元动作交变应力次数逐渐达到临界值，系统可靠性开始急剧下降。此时，系统的主要失效原因已经由磨损型故障转变为交变应力。图18中，元动作链方法得到的曲线可以明显地看出平滑段与转折点，而传统可靠性评估所使用的威布尔分布模型此时依旧较为平缓。在额定工作条件下，该部件在运行3 000 h后，交变应力的故障模式发生频率要明显大于磨损的故障模式，传统的建模方法由于不能够在模型中体现出这种故障原因的转变，最终计算出的可靠度曲线也很难与机床实际的运行情况相吻合。
4 结论
本文利用所提出的元动作链方法对数控机床在运行过程中的状态以及元动作在运行过程中的状态进行建模，从而建立了宏观系统可靠性与微观失效原因之间的联系。以磨损故障为例，分析了蜗轮转动过程中的可靠度变化，实现了机床运行信息与失效原因的融合建模；通过综合所有元动作的可靠度曲线，得到整个系统在运行过程中的可靠性变化情况，消除了传统可靠性建模中必须在规定条件下评估的限制，拓展了机床可靠性建模的应用层面。算例表明，相对于传统的系统可靠性建模，元动作链方法更加具有针对性，建模结果能够更切合机床运行过程中的可靠性变化。
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