0 引言
永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有能量密度髙、转动惯量小、过载能力强、功率因素高、结构简单、运行可靠、易于控制等优点，广泛应用于高性能、高精度伺服驱动领域，如炮控系统、雷达控制、数控机床、工业机器人等[1-3]。某火箭炮位置伺服系统采用PMSM作为驱动电机。PMSM是一个非线性、强耦合、多变量的复杂对象，同时，火箭炮位置伺服系统存在诸如齿轮间隙、摩擦力矩、惯性力矩、变负载以及在不同工况和外部环境变化下引起的系统参数时变等非线性因素，这些不可避免的非线性因素对提高火箭炮快速跟踪、射击精度等性能产生了严重影响，仅仅采用传统PID控制器对该火箭炮位置伺服系统进行控制，已很难满足系统的跟踪精度高、鲁棒性强等性能要求[4-6]。
近年来，随着控制理论的不断发展，国内外学者对PMSM交流伺服系统的控制方法进行了大量研究，提出了许多先进的控制策略，如滑模控制、鲁棒控制、自适应控制、模糊控制、自抗扰控制、分数阶控制等[7-10]。这些控制策略均有效地提升了PMSM交流伺服系统的控制性能。
为克服内外负载扰动对系统控制的性能影响，中国科学院韩京清研究员科研团队于1999年系统地提出了自抗扰控制理论(active disturbance rejection control,ADRC)；该理论的核心思想是将被控系统未建模动态部分和内外扰动视为总扰动，以扩张状态观测器(extended state observer,ESO)为技术手段，对该总扰动进行实时在线估计，并加以有效补偿[11]。文献[5,12-13]将ADRC应用于炮控系统,有效提高了火炮的抗干扰能力和射击精度；赵林峰等[14]将ADRC应用于自动泊车系统，提高了泊车精度并降低了泊车时间。
分数阶微积分[15] (fractional order calculus,FOC)将传统的微积分阶次拓宽到任意实数，具有无限维度、遗忘性记忆等优良特性；现有研究成果表明，分数阶控制对外部扰动不敏感，能有效地描述被控系统的数学模型或其动态特性。文献[16-20]将分数阶控制应用于电液伺服系统、交流伺服系统以及汽车主动悬架系统等非线性控制系统，取得了优良的动静态控制性能。
尽管ADRC具有良好的控制性能，但需要设定的参数较多，计算量大，它优越的控制性能是建立在数十个参数合理设置的基础之上，这严重制约了ADRC推广应用。为了便于使用ADRC和提高某火箭炮位置伺服系统的动静态控制性能，本文结合ADRC抗内外扰动能力强和FOPID动态特性好的优良特性，设计了一种分数阶PID改进型自抗扰控制器(FOPID-IADRC)，同时，引入向量粒子群(particle swarm optimization，PSO)算法实时在线整定FOPID的5个控制参数。
1 伺服系统构成及数学建模
1.1 伺服系统构成
某火箭炮交流位置伺服系统，由随动计算机、火控计算机、D/A转换器、伺服放大器、PMSM交流伺服系统、旋转变压器、RDC模块等部件组成，结构图见图1。
图1 交流伺服系统结构图
Fig.1 The structure diagram of AC servo system
该火箭炮交流伺服系统性能指标要求如下。
(1)高低射角范围为0°～48°；
(2)静态误差范围为-0.06°～0.06°(-1 mil～1 mil)；
(3)动态误差范围为-0.216°～0.216°(-3.6 mil～3.6 mil)；
(4)火箭炮由0°调转至48°的时间不超过8 s。
火控系统经过弹道解算单元计算出火箭炮方向和高低目标角度后，发送至随动计算机；随动计算机根据火箭炮实际位置值和给定目标值，通过相关控制算法实时计算出当前系统控制值；当前系统控制值经D/A转换模块处理，输入伺服放大器隔离放大，再输入交流调速系统；交流变频伺服控制器根据输入的控制量大小，通过速度反馈来自动调节PMSM电机的转速；最后，PMSM电机经减速器减速后，将机械动力传递至模拟负载。模拟负载的实际位置信号，经旋转变压器和RDC模块实时检测转换，反馈给随动计算机形成闭环，从而实现火箭炮炮控系统的随动控制。
1.2 伺服系统数学建模
某火箭炮交流位置伺服系统原理框图见图2。本文主要研究如何抑制参数摄动、变负载等非线性因素的影响，以提高被控系统的控制性能。所以，对PMSM电机进行数学建模作下列假设：①气隙磁场分布均匀，感应反电动势曲线为正弦波状；②忽略饱和效应；③励磁电流无动态响应；④磁滞和涡流损失忽略不计；⑤转子无励磁绕组等。
图2 交流伺服系统框图
Fig.2 Block diagram of AC servo system
图2中，θr(t)为参考目标输入值；θo(t)为实际目标输出值；u(t)为控制电压输入值；L为电机的电枢回路电感值；R为电机的回路电阻值；Td为电机的电磁转矩；Tf为电机的摩擦力矩扰动；TL为电机的负载扰动力矩；B为电机的黏性摩擦系数；J为作用在电机转轴上的等效转动惯量值；ωd为电机的角速度；i为减速器的传动减速比；Ka为增益系数；Kd为电机的力矩常数；Ee为电机的反电动势；Ce为电机的反电动势常数。
电流控制环的响应速度远远高于速度控制环与位置控制环的响应速度，并且电流时间常数远远小于机械时间常数。所以，通常将电流控制环近似为比例环节，其数学模型为
(1)
电机的电磁转矩方程如下：
(2)
由电机的转矩平衡方程可知：
(3)
将式(2)代入式(3)，可得
(4)
由式(4)，可得
(5)
设x=(x1,x2)T为被控对象的状态变量,设
则被控交流位置伺服系统的状态空间方程如下：
(6)
其中，f(x)为非线性动力学方程；g为控制增益量；d(t)为外部扰动部分，且|d(t)|≤C，C为常值。
2 ADRC概述
ADRC主要由非线性跟踪微分器(nonlinear tracking differentiator,NTD)、扩张状态观测器(extended state observer,ESO)和非线性状态误差反馈控制规律(nonlinear state error feedback,NLSEF)三部分组成，其基本结构图见图3。ADRC充分吸取传统PID技术的精华，利用NTD合理安排过渡过程，有效避免了系统跟踪时快速性和超调之间的矛盾；作为ADRC的核心部分，ESO有效解决了主动抗扰技术中的内外扰动观测和补偿的问题；为了避免系统出现高频振荡，NLSEF将误差微分、误差、误差积分3种信号进行非线性组合，较好地提高了系统的鲁棒性。
图3 ADRC基本结构图
Fig.3 Diagram of ADRC basic structure
图3中,yd(t)为系统参考输入，y(t)为系统实际输出，n(t)为系统外扰信号。
2.1 NTD
作为ADRC的重要组成部分，NTD主要为控制系统提取连续信号和微分信号，从而能较好地实现无超调状态下快速跟踪参考输入信号；在参考输入信号突变时，抑制其快速波动。
参考输入信号yd(k)，输入至NTD可得x1(k)→
若参考输入信号yd(k)掺杂噪声信号，NTD能够有效实现平滑滤波。NTD离散方程如下：
(7)
其中，h0为滤波因子；h为积分步长；r为速度因子；x1(k)、x2(k)分别为跟踪
的信号；最速控制函数fk(·)如下：
(8)
y(k)=x1(k)+hx2(k)
2.2 ESO
ESO不依赖于生成内外总扰动的具体数学模型，而是通过对系统的输入信号与输出信号的实际测量值来构造系统状态，从而获得系统状态变量的估计值。ESO的z1(k)输出变量跟踪系统输出量y(k)，z2(k)跟踪输出量的微分
是系统内外扰动的总估计值。ESO离散方程如下：
e(k)=z1(k)-y(k)
(9)
z1(k+1)=z1(k)-h[z2(k)-β01e(k)]
z3(k+1)=z3(k)-hβ03fal(e(k),α2,δ0)
式中，α1、α2为ADRC的非线性因子；β01、β02、β03为系统误差校正增益；δ0为ESO的平滑滤波因子。
非线性函数fal(e(k),α,δ)的表达式如下：
(10)
当偏差e(k)小时，增益大；反之，当偏差e(k)大时，增益小。这种不平滑特性，在系统响应时极易引起颤振的现象[12]。为了避免产生颤振的问题，引入非线性函数nfal(e(k),c,b,γ)替代fal(e(k),α,δ)：
(11)
μ0=arctan(c(0-γ))
式中，c为控制nfal(·)形状的参数；b控制nfal(·)曲线取值的范围；γ控制nfal(·)曲线中心的位置。
改进后ESO的离散方程：
e(k)=z1(k)-y(k)
(12)
z1(k+1)=z1(k)+h(z2(k)-β01e(k))
z3(k+1)=z3(k)-hβ03nfal(e(k),c2,b2,γ2)
式中，b0为补偿因子；c1、c2、b1、b2、γ1、γ2、β01、β02和β03均为ESO状态观测器的控制参数。
2.3 NLSEF
利用NTD和ESO可以得到过渡过程的误差信号e1(k)、误差微分信号e2(k)，从而计算出误差积分信号e0(k)。NLSEF可将误差微分、误差、误差积分3种信号进行非线性控制组合。图3所示的NLSEF离散方程如下：
(13)
式中，β1、β2为误差比例增益参数。
3 分数阶PID改进型自抗扰控制器
3.1 分数阶PID定义
随着分数阶理论和计算机技术的发展，FOC以其优越的控制性能，引起国内外科研人员的重视[15，17]。FOC算
定义如下：
(14)
其中,ρ>0时，
算子为f(t)对自变量t的ρ阶导数；ρ=0时，表示原函数f(t)；ρ<0时，
算子表示函数f(t)在t和t0间-ρ阶积分。
在零初值条件下，对式(14)进行Laplace变换：
(15)
传统的PID控制器：
uo(t)=kPe1(t)+kIe0(t)+kDe2(t)
(16)
引入FOC，分数阶PIλDμ控制器可设计为
uo(t)=kPe1(t)+kID-λe0(t)+kDDμe2(t)
(17)
式中，kP、kI、kD分别为比例参数、积分参数和微分参数；λ为积分阶次；μ为微分阶次。
3.2 分数阶PID改进型自抗扰控制器
为了减少控制器参数设定计算量及提高所研究系统的动态控制性能，结合ADRC抗内外扰动能力强和FOPID动态性能好的优点，设计了一种分数阶PID改进型自抗扰控制器(FOPID-IADRC)。该控制器将NLSEF替换为FOPID；通过PSO算法[6，21]在线整定FOPID 5个控制参数。FOPID-IADRC控制器结构如图4所示。
图4 分数阶PID改进型自抗扰控制器结构图
Fig.4 The structure diagram of FOPID-IADRC
将FOPID的5个控制参数定义为PSO的一个粒子。每个粒子和粒子群如下：
p(i)=[kP kI kD λ μ]
(18)
PM=[p(1) p(2) … p(M)]
(19)
i=1,2,…,M
式中，M为粒子群的总数。
粒子在空间中飞行，其速度根据最佳位置Pbest和全局极值gbest不断地动态调整，最后，求出最优解。每个粒子的速度更新和位置更新公式如下：
vid(i+1)=ωvid(i)+c1rand(·)[Pbest-xid(i)]+
c2rand(·)[gbest-xid(i)]
(20)
xid(i+1)=xid(i)+vid(i)
(21)
式中，vid(i)为当前粒子速度；vid(i+1)为更新粒子速度；xid(i)为当前粒子位置；xid(i+1)为更新粒子位置；ω为惯性权重；rand(·)为0到1的随机数；c1为局部学习因子；c2为全局学习因子。
每个粒子由目标函数的适应度值确定。为了避免较大的控制能量和超调量，适应度函数定义为
F=
[ω1|e1(t)|+ω2θr2(t)+ω3|e2(t)|]dt
(22)
式中，ω1、ω2、ω3为权重，ω3≫ω1，通常，ω1=0.999，ω2=0.001，ω3=100。
3.3 PSO-FOPID实现流程
(1)初始化。设定FOPID和PSO的参数，随机产生粒子群初始位置和速度，计算粒子群个体最优解和全局最优解。
(2)个体评价。由式(20)、式(21)和式(22)求出每个粒子新的适应度值。
(3)更新粒子。比较粒子当前适应度值与种群的个体最优解Pbest和全局最优解gbest，更新粒子位置和速度。
(4) 输出最优解。结束条件设定为寻优达到最大进化代数，若满足,则结束寻优并输出全局最优解；若不能满足，则转至(2)。
4 仿真及半实物台架实验
4.1 仿真实验
为验证本文所设计控制器的有效性，首先利用MATLAB/Simulink进行仿真实验。交流伺服系统的相关主要参数为：黏性摩擦系数B=1.43×10-4 N·m·s/rad；减速比i=1 039；等效转动惯量J=5.556×10-3 kg·m2；电机转矩系数Kd=0.195 N·m/A；负载扰动力矩TL=9.32×103 kg·m2；反电动势系数Ce=0.195 V·s/rad；摩擦力矩扰动Tf=850 kg·m2。
参照文献[14] 调试ADRC控制器设定最佳参数的方法，通过大量搜寻试验，将FOPID-IADRC参数设定至合理值附近，缩小了粒子群优化方法实际参数的搜索空间，便于后续采用实时在线微调，防止振荡现象的产生。本文所设计的FOPID-IADRC控制器参数设置如下。NTD参数：h=0.01,h0=0.1,r=1000；ESO参数：c1=0.5,c2=0.5,b1=2.1,b2=2.0,γ1=0.01,γ2=0.01,β01=1,β02=15.8,β03=318.5,b0=526.5；FOPID参数：λ=0.35，μ=1.2，kP=2.6，kI=0.04，kD=0.95；PSO参数：c1=c2=2,M=30。数值仿真如图5、图6所示。
图5 带负载干扰时阶跃输入系统响应曲线
Fig.5 Step response curves with load disturbance
图6 阶跃动态响应曲线
Fig.6 Step dynamic response curves
图5所示为系统在4 s时刻加载300 N·m阶跃干扰负载,对比分析ADRC控制器和FOPID-IADRC控制器的阶跃响应曲线。由图5可知，采用ADRC和FOPID-IADRC控制器分别进行实验，两者结果均无超调，FOPID-IADRC控制器阶跃响应速度较ADRC控制器有所提高。当负载端出现阶跃负载干扰时，FOPID-IADRC控制器仅需0.059 s就能恢复到参考输入目标位置，其响应曲线的最大误差值仅为0.48°；而ADRC控制器需要0.092 s才能恢复到参考输入目标位置，且其响应曲线的误差极值高达0.63°。仿真结果表明，FOPID-IADRC控制器较ADRC控制器在响应速度和鲁棒性等方面有较大提升。
如图6所示，当系统参数不确定且外部干扰出现时，ADRC控制器的跟踪误差极值是0.199°，而FOPID-IADRC控制器的跟踪误差极值为0.053°,该值仅为ADRC跟踪误差极值的26.6%。仿真结果表明，通过在线PSO算法可以快速地抑制各种不确定性的影响,FOPID-IADRC控制器具有较强的抗干扰能力和良好的动态性能。
4.2 半实物台架实验
为验证本文提出的FOPID-IADRC控制策略的有效性和可行性，搭建了火炮交流位置伺服系统的半实物仿真试验台，并在该平台上进行了谐波跟踪试验测试，并与 ADRC控制器试验结果进行了比较。半实物试验台结构和实物图见图7。
图7 半实物仿真试验台
Fig.7 Test bench of semi-physical simulation
半实物试验台主要由基础台架、控制计算机、伺服控制系统、机械传动系统、模拟加载系统、测量系统等组成。相关核心元件选型如下：旋转变压器型号为J70XFS011，精度可达0.006°(0.1 mil)；RDC模块选用双通道解码模块MXSZ16-415，其分辨率高达16位；电机选用美国科尔摩根公司B-602型电机，其额定功率为2.8 kW,最高转速为4 000 r/min，最大理论加速度高达38 500 rad/s2。
半实物仿真试验台工作原理如下：控制计算机将目标信号输入给伺服控制系统后，伺服控制系统驱动电机，通过精密减速装置传递机械动力实现负载的调转；负载转角位置信息由传感检测装置实时反馈至控制计算机，形成内部闭环控制。加载装置主要由磁粉制动器和转动惯量盘组成，分别用来模拟实际工况下火控系统的摩擦阻力矩和转动惯量；传感器采集相关性能参数，通过数据采集系统传送给控制计算机，实现火炮随动系统的位置控制。
图8 正弦跟踪误差曲线
Fig.8 Sinusoidal tracking error curves
根据火箭炮交流伺服系统性能指标要求，确定频率0.265 6 Hz、幅值±30°的正弦信号为跟踪信号，并在半实物仿真平台上进行了跟踪试验。由图8可知，ADRC控制器和FOPID-IADRC控制器的最大正弦跟踪误差分别约为0.186°和0.115°，二者都能够满足系统设计要求的动态误差指标±0.216°(±3.6 mil，360°=6 000 mil)；FOPID-IADRC控制器的最大正弦跟踪误差明显小于ADRC控制器的相应值。由以上分析可知，FOPID-IADRC控制器的系统性能明显优于ADRC控制器的系统性能。
5 结论
本文建立了某火箭炮交流位置伺服系统的数学模型，提出了一种分数阶PID改进型自抗扰控制器；利用PSO算法，减少自抗扰控制器参数计算量，完成FOPID参数的在线自整定。
(1) 由数值仿真实验可知，在4 s时刻负载端加载300 N·m阶跃干扰信号，FOPID-IADRC控制器的最大偏差量为0.053°，仅为ADRC控制器相应值的76.2%；ADRC控制器需要0.092 s恢复至目标位置，而FOPID-IADRC控制器相应值只有0.059 s。当系统参数不确定且外部干扰出现时，ADRC控制器的跟踪误差高达FOPID-IADRC控制器的3.75倍。
(2) 由半实物仿真平台实验可知，当控制系统跟踪频率0.2656Hz、幅值±30°的正弦信号时，FOPID-IADRC控制器的最大正弦跟踪误差为0.115°，仅为ADRC控制器相应跟踪误差值的61.8%。
本文所设计的FOPID-IADRC控制器动静态控制性能好、抗负载干扰能力强，能够满足火箭炮交流位置伺服系统的控制性能要求。
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