0 引言
随着北极航道的开发，冰区航行船作为海上重要运输载体的安全性受到了越来越多的关注[1]。船在极区航行时会受到来自海冰和海浪等多种载荷的动态激励，其中海冰与船体结构碰撞产生的振动等级最高，对船体结构冰载荷特性进行研究有助于保障船舶安全运行并提高冰区船舶设计水平[2]。
实船冰载荷监测的反演分析包括两类，一类为基于应变的局部冰载荷反演[3]，另一类为基于振动信号的总体航行冰阻力反演[4]。为更加有效地揭示冰载荷分布特征，也有学者结合这两种测量技术，进行多传感器的优化配置[5]。根据冰区船舶的受力特征可知，船舶舷侧肋骨为主要的承力构件，为有效地反映冰载荷在船体的分布特征及作用规律，测量船舶舷侧肋骨的冰激响应应变是目前冰载荷监测的主流技术手段[3,6-7]；同时，船舶舷侧肋骨易发生过载失效，是船舶结构的重点监测区域[8-9]。合适的测量方案有利于获得冰载荷特征以便后续的载荷反演分析和安全预警，但目前在船舶舷侧肋骨上应变传感器的布置尚未有清晰的理论指导，因而，可通过对船体外板结构试验模型进行加载试验来确定结构的内力分布、构件失效特征等。如对外板施加轴力确定外板在正常状态下、强化加固状态下和含有初始裂痕状态下失效的载荷数值[10]；采用真实冰载荷对外板结构进行持续性加载至船舶舷侧肋骨失效，由此确定船舶舷侧肋骨的失效准则[11]。
采用应变测量技术的冰载荷反演方法都是基于梁理论的影响系数矩阵法[3, 6]，但该方法是建立在静力学基础上的，缺乏对动载荷效应部分的考虑。此外，工程结构的反演分析中均存在动力学方程病态的问题，如梁、飞行器电池箱、组合薄壁、机械臂等结构[12-15]。解决动力学中不适定性问题通常采用正则化方法，如采用零相位滤波和多种正则化方法对有噪声信号干扰的反演问题可起到很好的滤波效果和识别效果[16]；采用Gegenbauer多项式展开理论和λ-PDFs(概率密度函数)方法可将平面桁架、车门等随机结构的反演问题转换为确定性结构的反演分析[17]；采用B样条曲线方法对单自由度结构所受的周期性载荷和随机性载荷均有较高复原度[18]。因而，如何依据船体结构冰载荷特征构建动力学响应方程和适宜的正则化方法是冰载荷识别模型的关键。
为对船体冰载荷进行合理有效的监测反演，本文将构建船体外板结构动态载荷识别的试验结构，通过对比信号特征确定最佳的应变测试方案；通过Green核函数和 Tikhonov正则化方法建立船体结构的冰载荷识别模型，从而将该方法应用于试验中的载荷反演计算。
1 船体外板结构冲击载荷的试验分析
海冰对船舶结构的作用是一种典型的随机冲击载荷[19]。船舶舷侧肋骨是冰载荷冲击下的主要承力构件[8-9,20]，可采用船体外板结构的冲击载荷试验来优选布置在船舶舷侧肋骨上的冰载荷的监测方案。
1.1 船体外板结构在冲击载荷作用下的应变监测方案
船舶舷侧肋骨在冰载荷冲击作用下，其内力分布复杂，与载荷加载方式、加载面和周边结构都相关[9]。本文依据KIM等[11]和DALEY等[20]对外板结构的加载试验和数值分析，确定了图1中船舶舷侧肋骨在冰载荷作用下高应力分布区。船舶舷侧肋骨在冰载荷作用下，作用点局部会发生挤压变形；船舶舷侧肋骨在纵桁、甲板等结构的约束下又形成一个梁结构，它在冰载荷作用下整体会发生剪切和弯曲变形，并且靠近舷侧肋骨边缘的部分会在舷侧肋骨边缘约束下发生挤压变形。为确定舷侧肋骨在冰载荷冲击作用下应变传感器最佳的布放位置和测试方向，在舷侧肋骨上选取三个测量点，如图1所示。其中，测点A距离船舶舷侧肋骨边缘20 mm，测点B位于肋骨中间 (即图中的长虚线上)，测点C距离外板20 mm；同时在测点A、B、C处测试两个方向的应变，即垂直外板方向的应变εv和平行外板方向的应变εp，其测试方案说明如表1所示。
图1 船舶舷侧肋骨上高应力区和应变片布置示意图
Fig.1 Schematic diagram of high stress zone and arrangement of strain gauges on the transverse frame
表1 船舶舷侧肋骨上测试方案
Tab.1 Descriptions of measurement schemes on the transverse frame
测点编号测点位置测试方向测量方式A靠近肋骨边缘垂直外板1平行外板2B肋骨中间垂直外板3平行外板4C靠近外板垂直外板5平行外板6
各国的极地航行船的外板结构形式因冰级规范不同而导致其形式不尽相同。为此，本文根据 “雪龙2号” 中国极地科考破冰船及其他文献中船舶外板的结构形式[9]，采用由外板、舷侧肋骨和纵桁等强框架组成的典型的船体外板结构，如图2a所示。模型中的板厚都采用3 mm厚的6061铝合金板，试验模型的边界采用螺栓和边条组合方式进行约束；另外铝合金板在焊接过程中会因局部温度过高而导致肋板边缘等小尺寸部件发生大变形，因此模型中需要焊接的连接处均采用了黏结强度高的甲基丙烯酸酯类胶黏结。图2a所示为对应的测量位置，每个测量位置的应变片粘贴方式如图2a左上角方框内的示意图所示。应变片的线路连接采用带温度补偿片的半桥连接方式。图2b中均布的3×4的区域为对应的载荷施加区域，试验过程中采用力锤施加载荷 (灵敏度为3.10 mV/N)。动载荷识别试验中，应变信号和力信号同时由DH5922N数据采集系统记录，采样频率为10 kHz，数据采集过程中采用抗混滤波器。
(a)应变片在船舶舷侧肋骨上的布置示意图
(b)载荷施加位置
图2 试验中船体外板结构的船舶舷侧肋骨应变片布置及外板施加载荷处
Fig.2 The arrangement of strain gauges on the transverse frames and the loading position on the outer shell
1.2 冲击载荷下结构应变测试方案分析
为检验试验中冲击载荷和应变信号之间的相关性，在左上角的测点连续锤击4次，同时由应变采集仪记录测点处6种不同测试方式下的应变信号。图3、图4为4次冲击载荷事件中对应的力和应变的时程曲线。可以看出冲击力信号是一个尖锐的脉冲信号，应变响应信号是一个快速振荡衰减的信号。由于结构自身在冲击载荷作用下会发生自由振动而导致应变信号不能快速地衰减，在反演载荷过程中要考虑如何滤掉因结构自由振动产生应变对反演结果的影响，因此，测量应变响应信号在冲击载荷作用下的数值越高越能准确地识别出冲击载荷。方式2和方式4的应变信号与冲击载荷信号的衰减和幅值规律相对应，且其应变响应的数值也相对较高；方式1的应变信号也能反映载荷的冲击特征，但对于线性时不变的船体外板结构而言，其信号幅值上不具对应性；方式5的应变信号在部分事件中的响应数值也相对较高，但其信号相比于冲击载荷不具备规律性。综合分析，可选择在船舶舷侧肋骨的中间或者靠近边缘位置且测试方向平行于外板的应变测量方式作为载荷反演的测试方案。
图3 四次冲击载荷事件
Fig.3 Four events of impact loads
图4 应变时程曲线
Fig.4 History curves of strains
2 冰载荷识别模型及适定性分析
有限元数值计算模型是反演船体外板结构冰载荷的基础，此外，冰载荷实时监测系统还要求数值模型具有较高的载荷识别能力，从而为船舶提供安全预警。
2.1 利用Green核函数建立冲击载荷与应变间的响应关系
采用网格尺寸为5 mm×5 mm的四边形网格建立船体结构的有限元模型，其结构的相关尺寸信息如图5所示。冰载荷反演模型中通常假设船舶结构处于线弹性阶段，因此材料模型为线弹性体，弹性模量、材料密度和泊松比分别设为70 GPa、2 700 kg/m3和0.3。船体外板结构采用比例阻尼。边界条件采用SUOMINEN等[3]分析S.A. Agulhas Ⅱ号艏部结构反演时的设定标准，外板边缘设定为固支。
图5 破冰船典型外板结构的有限元模型
Fig.5 Finite element model of the typical shell structure of ice breaker
冰载荷函数通常可采用三角波的形式[19]，由此，可采用Green冲击函数的核函数建立船体结构冰载荷识别的正问题。对于任意时刻t，作用在船舶结构上单位冲击载荷可用狄拉克函数来定义，其函数满足：
δ(t-τ)dτ=1
(1)
δ(t-τ)=0,t≠τ
(2)
式中，δ(t)为定义域为t∈(-∞,-∞)的狄拉克函数；τ为狄拉克函数存在数值的时刻。
由线性时不变系统的叠加原理可知，任意动态载荷引起的应变响应可用一系列单位冲击载荷的响应叠加而成。由此建立冲击载荷与应变间的响应关系，即
g(t-τ)p(τ)dτ=ε(t)
(3)
式中，g(t)为对应响应与冲击载荷关系的Green核函数；p(τ)为冰载荷；ε(t)为t时刻对应的应变。
采用黎曼积分形式对式(3)进行近似计算得
(4)
ti=iΔt
式中，p(k)为ti时刻的冲击载荷；Δt为采样时间间隔;m为作用周期内时间段的数目。
可将式(4)转换为矩阵的形式，即
(5)
式中，gi为ti时刻的Green函数。
由此建立基于Green核函数的冰载荷反演识别的正问题，由gi分别组成冰载荷反演的Green函数矩阵G，即
ε=Gp
(6)
式中，ε、p分别为实际结构测量的应变和施加的冲击载荷。
2.2 冰载荷识别过程中的适定性分析
在载荷反演过程中，可采用Moore-Penrose逆进行直接求解[21]，即
pM-P=(GTG)-1GTε
(7)
式中，pM-P为采用Moore-Penrose逆反演得到的冲击载荷；(GTG)-1GT为Green函数矩阵G的Moore-Penrose逆。
当动载荷反演中的Green核函数矩阵G为病态时，会导致式(7)的解是不适定的，另外，在实际结构测量中，由于仪器识别精度和信号的噪声导致观测数据不可避免地带有误差，因此可将式(6)写作
εerr=Gpreal+e
(8)
式中，εerr、e分别为实际结构测量时的应变及其对应的误差；preal为结构上施加的真实载荷。
对Green函数矩阵G作奇异值分解，有
G=Udiag(σi)VT
(9)
U=(u1,u2,…,um)
V=(v1,v2,…,vm)
式中，diag(σi)为由核函数矩阵G的奇异值σi组成的对角阵;ui为Green函数矩阵G的左奇异向量;vi为Green函数矩阵G的右奇异向量。
Green函数矩阵G的左右奇异向量具有如下性质：
(10)
式中，κij为Kronecker函数，当i=j时，κij=1，当i≠j时，κij=0。
假设Green函数矩阵G的逆存在，结合式(8)～式(10)可得到测量误差影响下的冰载荷：
(11)
由式(11)可知，测量误差影响下反演的冰载荷perr与真实冰载荷preal之间的误差主要是由测量中不可避免的误差e和测量结构本身的核函数矩阵G的小奇异值导致的。为直观展示测量信号噪声对直接采用式(7)求解的影响，将靠近舷侧肋骨边缘且应变测试方向平行于外板方式(即表1中的方式2)的应变进行反演分析(分别采用原信号和10%噪声水平下信号进行载荷反演分析)，其中带噪声应变信号可写作
εerr=ε+lnosiestd(ε)rand(-1,1)
(12)
式中，εerr为10%噪声水平下的应变信号；ε为原应变信号;lnosie为一个百分数，代表噪声的水平；std(·)为求标准差函数；rand(-1,1)为求[-1,1]之间随机数的函数。
由图6可以看出，当信号没有干扰时，采用Moore-Penrose逆求解办法(式(7))就可以达到很高的反演精度；但当信号中有噪声干扰时，反演的结果将会与实际施加载荷之间有很大的差别；特别是在“0”位置附近，反演的误差巨大，其数值已不具备稳定性。
图6 通过10%噪声水平下信号和原始信号反演的载荷对比
Fig.6 Comparison between the loads identified from the signals with 10% noise and the original signals
3 采用Tikhonov正则化方法解决冰载荷识别中的不适定性
为解决动态载荷反演过程中出现的不适定性问题，可采用正则化理论求解具有很大条件数的载荷反演问题并提供较为稳定的数值解。
3.1 求解冰载荷识别中不适定问题的Tikhonov正则化方法
基于变分理论的Tikhonov正则化方法是目前求解不适定问题较为普适的方法，广泛应用于工程问题中的载荷反演分析中[12, 16, 22]。Tikhonov正则化方法是在已知边界约束情况下，根据与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解，通过选择最优的正则化参数，保证其对未知解的良好近似。Tikhonov正则化方法通过引入稳定子来求解，即
(13)
式中，α为一个非负的正则化参数。
式(13)的Tikhonov正则化的冰载荷近似解可写作[12]
p=(GTG+αI)-1GTεerr
(14)
式中，I为单位矩阵。
采用与原问题相邻近的有界算子GTG+αI代替最小二乘法求解中的算子GTG可以明显起到改善求解冰载荷条件的作用，从有界算子和原算子的条件数便可得出[23]
(15)
式中，cond(·)表示矩阵的2范数；σmax、σmin分别为矩阵GTG的极大奇异值和极小奇异值。
3.2 采用L曲线准则的Tikhonov正则化参数选取
为获取采用Tikhonov正则化方法反演冰载荷的最优解，必须考虑正则化参数α的选取。这是由于在Tikhonov方法中，残差的模‖εerr-Gp‖和解的模‖p‖都与正则化参数α有关。正则化参数α主要控制残差的模‖εerr-Gp‖和解的模‖p‖间的相对大小。为了获得更加近似真实的解，α的值应该越小越好，但考虑到解的数值的稳定性，α的值应该越大越好，这就需要优选该参数。
目前已经有许多学者研究正则化参数α的选取对反演精度的影响[12,17,24]。本文采用图形化工具L曲线准则选取正则化参数α。如图7所示，选择不同的正则化参数α的值，分别以残差的模‖εerr-Gp‖和解的模‖p‖作为横坐标和纵坐标，并采用对数坐标的形式给出。这条曲线一般将出现一个明显的“L”形状，故称为L曲线方法。在该曲线中曲率最大的点(即图7中的曲线拐点)，残差的模‖εerr-Gp‖和解的模‖p‖达到了最佳的平衡。通常可以通过数值解的办法确定L曲线的曲率最大点，并由此确定最优的正则化参数[25]。至此，基于Green核函数和Tikhonov正则化方法的冰载荷识别模型建立完毕。
图7 L曲线正则化参数优选示意图
Fig.7 Scheme diagramof the parametric optimization by means of L_curve
4 船体外板结构试验中冲击载荷的识别分析
为检验冰载荷识别模型的识别精度，分别采用靠近船舶舷侧肋骨边缘且应变测试方向平行于外板的测试方式(即表1中的方式2)和位于船舶舷侧肋骨中间且应变测试方向平行于外板的测试方式(即表1中的方式4)对图3中的四个冲击载荷进行反演。为有效识别冲击载荷的时程同时兼顾反演的效率，将反演载荷的时间间隔设为0.2 ms。由图8反演的时程曲线对比可知，方式2与方式4测量方案下的反演时程曲线都能准确地对应冲击载荷的信号时程，但反演结果因结构自身阻尼的影响，导致存在0.1～0.2 ms的延迟。
图8 四次冲击载荷事件中的反演载荷与施加载荷对比
Fig.8 Comparison between the identified loads and applied loads in the four events of impact load
(a)第一个施加载荷点
(b)第二个施加载荷点
图9 第一、第二个载荷施加点处50次试验中的峰值对比
Fig.9 Comparison of the extreme values on the loading position 1 and 2 in the 50 times test respectively
冰载荷信号通常是随机的冲击信号，因此冰载荷的峰值常作为分析冰载荷特征的重要数据[3,26-27]。在实际冰载荷反演中，需要用峰值提取程序对冰载荷峰值进行提取[28]。为分析两种不同测量方式下冰载荷峰值结果的精度，分别在图9a和图9b左上角试验装置图中白色方框内的测点进行50次冲击载荷试验，并采用峰值提取程序进行峰值提取[29]。识别的峰值与实际峰值对比如图9所示，可以看出两种测量方式下的识别结果均可良好地对应上施加的载荷数值，在第一个测点采用方式2和方式4识别结果的相对误差均值分别为5.53%、8.39%，在第二个测点采用方式2和方式4识别结果的相对误差均值分别为9.44%、7.83%。分析试验结果可知，载荷峰值识别的误差产生原因主要来自于三个方面：真实结构模型与数值模型之间不可避免的误差；破冰船外板结构因要保障在冰区航行期间的结构刚度，其结构在冲击载荷的作用下应变数值一般在10-4以下，因而应变测量信号的信噪比对其影响也较大；通过力锤施加力时很难保证载荷方向在竖直方向上没有偏差。
相对误差均值的定义为
(16)
式中，
为施加载荷数值;
为反演载荷数值;N为测试事件的数目,N=50。
5 结论
本文通过对船体外板结构的试验模型施加冲击载荷，对比分析了应变信号和冲击载荷信号的相关性，可知应在舷侧肋骨的中间或靠近面板的边缘位置布放平行于外板方向的应变传感器。从试验数据可知，冰船受力过程中，平行外板方向相较于垂直外板方向布放的传感器灵敏度更高，能更有效地反映载荷信号特征，主要原因是船侧肋骨在甲板、纵桁约束下组成的梁结构在冲击载荷作用下发生“弯曲变形”效应，相比于“局部挤压”“剪切变形”等效应更为突出。采用Green核函数方法建立了船体结构冰载荷识别模型，并通过适定性分析确定了冰载荷反演过程中需要解决不适定的问题。采用Tikhonov正则化方法及L曲线正则化参数优化方法解决了数值求解中的不适定性问题。采用冰载荷识别模型对冲击载荷进行识别分析，分析结果表明反演得到的载荷信号可以较好地反映冲击载荷的时程特征，并且在峰值对比上可以达到10%以内的相对误差均值，满足了海冰工程中对载荷识别精度的要求。
本文提出的船舶结构冰载荷识别模型是对动载荷效应部分的补充，可为船体的冰区冰载荷监测提供相应的技术方案。下一步将通过组合多种正则化技术以提高反演精度，并对真实的冰载荷进行识别分析，从而将其扩展到实船的冰载荷监测中。
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