变厚度板中水平剪切波的传播特性分析

目前，超声导波检测技术的应用主要局限于均匀壁厚的管状、板状结构件[1-2]，关于它应用在变壁厚结构检测的研究很少。这主要是因为变壁厚结构的边界条件使得导波的传播非常复杂，所以研究超声导波在储罐壁板这类变壁厚结构中的传播特性至关重要。CHO等[3]最早将边界元法与Lamb波的本征模式函数相结合，构建混合边界元法，为几何不连续区域导波频散和模态转换问题研究提供了有效的数值计算工具；CHO[4]分析了波导厚度变化对Lamb反射、透射系数和模态转换的影响；HAN等[5]研究了Lamb波在厚度阶梯变化的层压复合板中的传播特性；MARICAL等[6]、VINCENT等[7]等分别基于二维傅里叶变换和多模式法，研究了Lamb波在高斯型变厚度弹性波导中的波数变化和模态转换现象；HAMITOUCHE等[8]发现，Lamb波在楔形铝板中沿壁厚减薄方向传播时，其透射能量受隧道效应[9]的影响；MARCHI等[10]推导了Lamb波在锥形波导和阶梯波导中传播的时间延迟方程，并通过实验证明了公式的有效性。

相对而言，将SH波用于变厚度板状结构检测的研究较少。PREDO等[11]研究了不同厚度和刚度的粘结层对SH波波数的影响，发现厚度变化较小时，SH波与粘结层的局部厚度相适应；EKIN等[12]研究了SH波在界面缓慢变化的非线性弹性层覆盖的非线性理想弹性半空间中的传播特性，发现界面不规则和非线性对SH波传播特性有着较大影响。

为解决变厚度板状结构复杂边界条件引起的Lamb波频散和模态转换问题，本文在研究双探头对称布置激励或接收纯净SH波的SH1模态方法[13]的基础上，理论推导了变厚度板中SH波的频散方程和远场响应方程，仿真分析了SH1波在不同倾斜角变厚度板中的传播特性。

1 理论分析

1.1 变厚度板中SH波的频散方程

为研究变厚度板中SH波的传播特性，建立了SH波在空间自由边界中的传播模型，如图1所示。在变厚度板中，SH波质点振动方向与板面平行，无面外位移，且与传播方向垂直。

变厚度板是满足线弹性和连续性的各向同性固体介质，符合一般的弹性动力学运动方程(Navier-Stokes方程)：

式中，u(x,y,z,t)为时间谐振位移矢量；ρ为材料密度；λ为一阶拉梅常量；μ为二阶拉梅常量。

对位移的散度求梯度，即

对位移求拉普拉斯(Laplace)算子，即

图1中，SH波沿x方向传播，质点沿y方向振动且只存在于y方向，则有约束条件

综合式(1)～式(4)可得

由于质点振动为简谐形式，故uy(x,y,z,t)函数满足简谐运动一般形式：

式中，k为波数；ω为角频率。

联立式(5)、式(6)可得

式中，CT为横波波速。

式(7)为二阶常系数齐次线性微分方程，其通解为

式中，M、N为任意常数。

联立式(8)与式(6)并分解成两个独立的位移场：

式中，上角标s表示对称模态，a表示反对称模态。

在两种模态的传播过程中，变厚度板的上下表面为自由边界。由文献[14]可以解得频散方程：

式中，h为变厚度板的厚度。

图2为变厚度板截面图，其中，θ为对称变厚度板倾斜角，变厚度板中板厚h与板长x成线性关系：h=xtanθ+d0/2，将式(11)和式(12)化简，显式解可表达为

式中，Cp为SH波传播过程中的相速度。

将板中导波的一般公式

代入式(14)，可得出SH传播过程中的相速度

将式(14)两边进行微分，可得

根据群速度的定义，可知群速度Cg的一般公式为

由此，可得SH波群速度Cg关于频厚积的表达式：

上述变厚度板中SH波的相速度Cp、群速度Cg与频厚积的一般关系即为变厚度板中SH波的频散方程。

1.2 变厚度板中SH波传播走时

变厚度板中n次SH波从x=x0到x=x1的走时

其中，Cg(f,h)为SH波群速度表达式。将式(18)代入式(19)，求得n次SH波从x=0传播到x=a的走时

当n≥1时，对式(20)定积分可得

综上所述，n次SH波在倾斜角为θ的对称变厚度板中，从x=0传播到x=a的走时

式(23)表明，SH波走时t与倾斜角θ成非线性关系。

1.3 变厚度板中SH波远场响应

为研究变厚度板中SH波传播时接收信号幅值的变化规律，本文基于简谐点源的远场响应，并引入板厚与传播位移的非线性关系，推导了变厚度板中SH波的远场响应方程。LEE等[15]建立了SH波的分布线源模型(图3)，建立了局部坐标系omxmym，则长度为L的线源m在测量点(r，α)处的远场响应Rm为

式中，Am为常数；rm为点pm到测量点的直线距离；θm为测量点与x轴的夹角。

本文研究变厚度板中SH波传播的接收信号幅值只需要研究SH波最优指向性的声束方向，只需满足：

式(25)即为线源m在测量点(rm,θm)处的远场响应。远场响应Rm的模表征变厚度板中SH波传播的接收信号幅值，即

在θm=90°的条件下，rm满足

联立式(25)～式(27)可得

式(28)表明，SH波接收信号幅值与倾斜角θ成非线性关系。本文研究SH1波在变厚度板中的传播特性，只需令n=1即可。

2 仿真分析

2.1 仿真模型

为了研究变厚度板倾斜角θ对SH1波传播特性的影响，本文基于COMSOL Multiphysics建立了SH1波的激励、接收换能模型。如图4所示，变厚度板激励与接收换能器的间距为50 mm，薄端厚度为3 mm。分别在该变厚度板上下表面对称布置周期性阵列磁铁(periodic permanent magnets，PPM)，且永磁铁极性相反，激励电流方向相反，实现纯净SH1波的收发。其中，激励信号采用6周期汉明窗调制的正弦信号，激励频率为700 kHz。永磁铁与线圈平行置于变厚度板表面，设置线圈有效长度为一个波长，即7 mm，提离距离分别为1 mm、0.5 mm。为平衡求解精度和计算量，永磁铁部分每个波长内设置15个网格，最小单元质量为0.115 2。PPM换能器与变厚度板之间设置有空气域。在沿y方向两端面设置平面波辐射，防止反射回波干扰。

表1所示为仿真模型中变厚度板的尺寸参数值。变厚度板材质为铝，设置为线弹性域，板内内应力为垂直于纸面方向的洛伦兹力。

变厚度板网格采用物理场控制网格，单元尺寸较细化，最小单元质量为0.1823。为获得稳定数值解，基于敛散性判定系数(Courant-Friedrichs-Lewy)CFL[16]判定仿真模型的敛散性。本模型中，SH1模态激发频率f=700 kHz，

最大相速度Cp=4 900 m/s，网格最大尺寸为5.3 mm，求解时间间隔tstep=0.0 714 μs，则敛散性判定系数CFL=0.066<0.5，判定网格仿真模型收敛。图5为SH1波在变厚度板中的传播过程仿真图。

2.2 仿真模型计算精度验证与时域、频域分析

为了验证仿真模型的有效性，对比分析SH1模态的理论与仿真走时信息。分别提取倾斜角θ由0°至5°、步长为15′的变厚度板中SH1波的时域分布图。由于相隔15′之间角度的走时变化不显著，故暂提取相隔30′之间角度的走时变化作为图形显示。以接收端的质点振动方向声压场强分量表征接收信号幅值，不同倾斜角时的时域分布见图6。

当θ=0°时，3 mm变厚度板中SH1波群速度Cg=2 058 m/s，由此可得接收端的理论走时t0=24.29 μs。通过提取仿真结果中收发换能器间波形峰峰值差值，即可得仿真走时数据。根据式(23)，可得出θ在0°至5°、步长为15′的理论走时数据，对比理论走时数据与仿真走时数据发现，仿真模型误差均小于1%，如图7所示，从而验证了仿真模型的有效性。由图7可知，随着倾斜角θ增大，SH1模态导波传播至变厚度板50 mm处的走时逐渐递减，且成非线性关系。

由图6还可以看出，当倾斜角θ较小时，直达波的波包展宽较为严重，而当倾斜角较大时，波形展开不明显。这主要是因为波包的群速度随倾斜角θ的增大而增大(式(18))。当倾斜角θ较小时，波包的群速度相对较小，直达波包通过接收端的时间较长，直达波的波包较宽；而当倾斜角θ较大时，波包的群速度相对较大，直达波包通过接收端的时间较短，直达波的波包较窄。

通过对各倾斜角对应总声压场强的傅里叶变换，可得到仿真模型50 mm处接收端的频谱，其中归一化幅值用以表征接收信号幅值，图8所示为理论与仿真中不同倾斜角的归一化幅值。

由图6可知，激发频率为700 kHz的SH1波在不同倾斜角θ的变厚度板上传播时，不会发生模态转换现象，且导波频带较窄，拥有良好的信噪比。

式(28)所得的数值结果与仿真模型结果之间误差小于5%(考虑理论计算的近似值)，证明了式(28)的有效性。由图8可知，当倾斜角θ逐渐增大时，50 mm处换能器接收的SH1模态幅值逐渐减小，并且衰减速率逐渐减小。综上所述，SH1波在变厚度板上传播时，不会发生模态转换且具有良好的信噪比；当变厚度板倾斜角θ增大时，SH1波走时与接收幅值逐渐减小，呈非线性递减趋势。

3 实验分析

为进一步验证理论计算和仿真分析结果的可靠性，搭建图9所示自发自收实验平台，设备主要包括RITEC RPR-4000脉冲发射接收仪，Tektronix DPO 3012数字示波器，倾斜角θ分别为0°、1°、2°、3°的对称变厚度板，实验采用脉冲反射回波法。激励与接收探头对称放置于变厚度板薄端，以保证上下端面波形的相位一致性；上下柔性线圈和永磁铁对称布置以激励和接收纯净的SH1波；柔性线圈紧贴于上下倾斜面，以减小SH1波传播行程差，减小实验误差。

表2所示为相关实验参数。跑道线圈为双层印刷的柔性电路板，对称布置于薄端上下两面，并以薄端为基准，实现SH1波的收发。激发频率为700 kHz，薄端厚度为3 mm，为提高变厚度板中SH1波的信噪比，拟定其波长为7 mm。

图10～图13所示为不同倾斜角θ变厚度板中SH1模态的回波信号及其小波变换结果可知，SH1模态的回波信号频率皆为700 kHz，且无频散现象。由于回波信号不断衰减，故本节针对回波信号中一次回波和二次回波进行走时和接收信号幅值分析。

提取图10～图13中不同倾斜角对应的一次回波和二次回波走时差，并与对应理论计算走时、仿真回波走时差进行对比，结果如表3所示。其中，计算理论走时中涉及的横波波速CT=3 200 m/s。不难发现，实验回波和仿真回波走时之间存在一定的绝对误差，其主要原因是仿真与实验中变厚度板的横波波速差异。综上所述，走时绝对误差皆小于8%，从而证明了式(23)的有效性。

在满足公式有效性的条件下，对比理论、实验、仿真走时数据(图14)可知，当倾斜角θ增大时，SH1波走时会逐渐衰减，且衰减速率也逐渐降低。

提取图10～图13波形图中一次回波波包峰峰值，分别为28.32 mV、20.14 mV、15.31 mV、13.76 mV；二次回波波包峰峰值分别为19.43 mV、14.33 mV、11.32 mV、11.01 mV。计算两种回波衰减速率的均值，可得接收信号幅值在0°～1°、1°～2°、2°～3°的衰减速率分别为27.56%、22.45%、6.36%。由此可知，SH1波的接收信号幅值也存在非线性衰减趋势，且当倾斜角θ递增时，接收信号幅值逐渐递减，且衰减速率也逐渐降低。

造成走时非线性衰减的原因在于：倾斜角θ增大时，会引起板厚和传播直线距离的非线性递增，但是同时也会使得群速度增大；当传播直线距离与群速度分别作用时，走时递减速率会逐渐减小。造成接收信号幅值非线性衰减的原因在于声束的散射性质。

4 结论

(1)理论推导了变厚度板中SH波的频散方程，建立了SH波走时与变厚度板倾斜角间的作用关系模型，以及变厚度板中SH波的远场响应方程，为变厚度板中SH1波时域、频域分析奠定基础。

(2)通过有限元仿真和物理实验，对纯净SH1波在不同倾斜角变厚度板中的传播特性进行时域和频域分析，分别对比理论模型与仿真计算、物理实验之间的误差，得到了SH1波时域、频域信号幅值随变厚度板倾斜角的变化关系。

(3)当SH1波从变厚度板的薄端发送并沿结构表面传播时无频散现象，且无波包分离现象；在SH1波沿变厚度板的传播过程中，随着板件倾斜角增大，SH1波走时与接收信号幅值逐渐减小，且成非线性关系。

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