0 引言
对自由曲面的检测进行深入研究是精密检测技术的一个研究热点[1]。配备有球形接触式测针的高精度三坐标测量机(coordinate measuring machine，CMM)能对加工的曲面零件进行精密检测，获得一系列以测点坐标表示的离散测量数据。通过CMM的软件进一步获得自由曲面上每个测点的几何偏差，以便对曲面的加工质量进行评价。但是，对自由曲面检测的研究目前大多集中在检测方法的选择[2-3]，即测点自适应分布[4]、测量路径优化[5]、测量精度的提高[6-7]等方面，对检测数据本身的深入分析还比较欠缺。 事实上，CMM获取的检测信息(包括测点坐标、几何偏差等信息)本质上是一种空间数据。对这些空间数据应用空间统计分析的方法进行研究是一种新的数据处理方式。
传统的统计学方法在研究空间数据时有局限性，它无法充分反映出数据在空间的内在联系。空间统计分析[8-9]即空间数据的统计分析可用来研究地理空间数据间的空间自相关，通过空间位置来分析数据的空间关联性[10]。 笔者将空间统计方法运用到自由曲面的几何偏差检测数据分析，通过建立空间权重矩阵来检验数据的空间自相关性，建立确定性曲面(deterministic surface)模型对空间数据进行分析。
1 测量数据的空间自相关性分析
空间数据往往具有空间关联或空间自相关特征， 通常认为空间自相关、空间关联反映的是一个区域单元上的观测数据之间潜在的相互依赖性[11]。 空间自相关用于度量空间对象及它们相应的某一属性值在空间上的聚集程度。不存在自相关性表明观察值属于独立随机分布，即空间对象不存在空间自相关，因此，如果自由曲面几何偏差的自相关性趋近于0，则认为各个测点的几何偏差在空间上是独立分布的，它们之间不存在显著的相关性。
莫兰统计量广泛用于检验空间数据的独立分布，它既能分析呈正态分布的数据，又能分析未知概率分布的数据[12]。要研究几何偏差ε、模型残差e，需要确定测量点i到理想CAD曲面的法向几何偏差εi、n个测量点(空间对象的数量)的εi算术平均值
以及位置i和j之间的度量权重系数wij。
1.1 空间权重矩阵
通常，n个点的空间邻近关系可以用一个空间权重矩阵W来表达：
(1)
其中，wij(i,j=1,2,…,n)为度量权重系数，一般来说，wii=0。任何事物都可能受到其周围邻居的影响，wij的确定可以按照一定的规律进行。地理学第一定律表明，空间对象距离越近，其相互影响越大，因此wij的大小与空间距离密切相关。
空间曲面上任意两个测量点i和j的空间距离为
(2)
式中，(xi, yi, zi)、(xj, yj, zj)分别为第i个、第j个测点的坐标。
度量权重系数wij可表示为[13]
(3)
(4)
式中，k为常量且k≥1，本文取k=3。
1.2 基于莫兰指数的空间自相关性分析
n个测量样本由高精度三坐标测量机对加工的自由曲面检测获得。 这些测量数据的空间相关性可用空间自相关系数来描述[12]：
(5)
式中，I为莫兰指数，取值在-1～1之间。
UPTON等[14]对莫兰指数的均值和方差进行了定义：
E(I)=-1/(n-1)
(6)
(7)
1.3 空间统计独立性的假设检验
检验法向几何偏差εi是否具有空间统计独立性的方法如下。
(1)假设描述如下：
H0：所有的εi具有空间统计独立性。
Ha：所有的εi具有空间统计相关性。
(2)选择本研究的显著性水平为0.01。
(3)确定检验统计量
(8)
检验统计量Z服从标准正态分布。
(4)建立决策规则。如果所有的εi具有空间自相关性，则表示具有相近值取样点的法向偏差趋向于聚集在相邻的区域，因此，采用单侧检验。若显著性水平为0.01，则标准正态分布的临界值Z0.01=2.33[13]。如果Z<Z0.01，则接受零假设，反之接受备择假设。如果H0被接受了，则可认为所有的εi是服从空间独立分布的，不存在确定性部分，该偏差可作为随机性偏差。H0被拒绝即表明所有的εi不具有空间独立性，还需要进一步进行确定性曲面[12]建模，使H0被接受，才能分别求出系统性偏差和随机性偏差。
当检验确定性曲面模型的残差时，式(5)和上述假设检验的εi应当用当前模型的残差ei代替。
2 测量数据的空间建模
为了创建一个能表达确定性偏差[12]的曲面模型，采用B样条方法进行空间建模。实际工件表面的曲面往往由多张曲面片拼合而成，因而必须将测量数据分割成属于不同曲面片的数据子集，然后对各子集分别构造曲面模型。多个三次B样条曲面片的表达式为[15]
(9)
式中，Ui(u)、Vj(v) 分别为u向和v向的B样条基函数；Cij为控制点；曲面片的数量为h×l。
Ui(u)与Vj(v)的乘积Xk即为B样条基函数的张量积，控制点与基函数张量积的线性组合即为曲面模型。 因此，式(9)可以改写为
(10)
式中，Ck=(xck， yck， zck)T为曲面模型相应的控制点；N为控制点的数量，N=(h+3)(l+3)。
若从自由曲面上获得了n个测点的三坐标测量数据Pi(x,y,z)，则确定性曲面控制点的最小二乘估计值为[15]
(11)
(12)
PT=[P0 P1 … Pn]
确定性部分的估计回归模型可以表示为
(13)
测量数据的模型残差为
(14)
根据测点建立了确定性曲面，残差的值实际上等于自由曲面的实际测点到确定性曲面的距离。在确定性曲面的基础上，检验残差的空间独立性，若残差不具有空间独立性，则增加确定性曲面模型的片体数量，重新建立确定性曲面模型，再次检验残差的空间独立性，如此循环迭代，直到满足零假设为止。
3 曲面零件的实验研究
本实验的曲面零件加工在沈阳机床厂生产的VMC650E立式加工中心进行，工件材料为铝合金，毛坯尺寸为80 mm×80 mm×60 mm，加工的数控NC代码由UG NX8.0自动生成。 曲面加工采用粗加工、半精加工、精加工三道工序，粗加工采用的是φ12 mm的端铣刀，半精加工和精加工采用的是φ6 mm的球头刀。
3.1 检测结果
图1是所釆用的曲面CAD模型及测点分布。曲面的检测过程在超高精度的德国海克斯康CMM(型号为Leitz Reference HP)上进行。
图1 曲面模型与测点分布、测量顺序
Fig.1 Surface model and its measurement points
为解决加工件与仿真零件的对准问题，分别在上述两种零件上建立坐标系，并令这两个坐标系重合。仿真零件的坐标系是用UG软件建模创建的，坐标系的原点在曲面左下角的3个理论垂直平面的相交处(见图1)。通过采用“3-2-1”法在加工件上分别测量“面-线-点”特征，建立了加工件的测量坐标系，坐标系的原点也位于3个实际垂直平面的相交处。这样就实现了加工件与仿真零件的坐标对准。
为研究不同直径的测针对CMM检测结果的影响，曲面的测量分为两步进行：①用直径5 mm的测针检测2116(46×46)个u、v均匀分布的测点；②用直径8 mm的测针检测529(23×23)个u、v均匀分布的测点。 检测完成后在Quindos7软件中获得了所有测点的几何偏差εi。
图2所示为2116个测点的几何偏差ε的空间分布，表1所示为这些测点的概率分布。图3为2116个和529个测点两种情况下的几何偏差映射图。几何偏差ε的统计参数如表2所示。
图2 2116个测点的几何偏差图
Fig.2 Geometric deviations of 2116 measurement points
表1 2116个测点的几何偏差分布
Tab.1 Distribution of geometric deviations of 2116 measurement points
几何偏差范围(mm)测点数量几何偏差范围(mm)测点数量(0.02,0.03]5(0.09,0.10]216(0.03,0.04]88(0.10,0.11]249(0.04,0.05]126(0.11,0.12]245(0.05,0.06]130(0.12,0.13]109(0.06,0.07]208(0.13,0.14]140(0.07,0.08]251(0.14,0.15]86(0.08,0.09]260(0.15,0.16)3
(a)2116个测点
(b)529个测点
图3 两种情况下的几何偏差映射图
Fig.3 Map of geometric deviations of 2116 and 529 measurement points for two cases
表2 两种情况下几何偏差ε的统计参数
Tab.2 Statistic parameters of geometric deviationε for two cases
测点数量2116529采样网格0.021 7u×0.021 7v0.044 4u×0.044 4v测针直径d(mm)58标准偏差(μm)29.023.7平均值(μm)90.196.1最小值(μm)28.044.7最大值(μm)151.0147.9形状误差(波度)(μm)123.0103.2
由图2、图3可看出，曲面的几何偏差既包含确定性部分，也包含随机性部分，且确定性部分的数值比随机性部分大。由图3可知，两种情况下的几何偏差映射图具有一定的相似性，表明采用不同的检测参数，其检测的结果也是相似的。但由表2和图3可知，不同的采样参数对检测结果有显著性的影响，标准偏差、平均值、最小值和最大值及形状误差(波度)均存在差异。直径5 mm测针的平均值和最小值相对比较小，这是因为小测针更容易检测到轮廓的波谷处，这与文献[16]的研究结果是一致的；但5 mm测针的几何偏差的离散程度比较大，其标准偏差比8 mm测针的大5.3 μm，其形状误差(波度)比8 mm测针的大19.8 μm。
为了分别研究两组数据的空间自相关性，计算它们检验统计量Z，第一组数据的Z值为25.224，第二组数据的Z值为34.630，均大于临界值Z0.01= 2.33，检验统计量都通过了显著性检验，因此从统计学角度很好地证明了曲面上几何偏差空间聚集性的存在，并且2组数据均显示几何偏差具有明显的空间统计正相关性。该结果表明(结合图3)，曲面上几何偏差的主要聚集特征表现为：大偏差测量点周围测量点的偏差较大，小偏差测量点周围测量点的偏差较小。进一步分析可知，曲面的加工存在系统性加工误差源，需要对此进行建模以精确描述确定性偏差，尽量减小该确定性偏差对曲面加工精度的影响。
3.2 确定性偏差的建模
对两种情况下的确定性偏差进行了建模，计算了B样条曲面控制点的数量和模型残差。模型残差的最大值、最小值、算术平均值、概率分布和空间自相关系数I都得到了确定。在2116个测点的情况下，控制点数量为20×19=380。在529个测点的情况下，控制点数量为13×13=169。表3和表4示出了两种情况下模型残差的概率分布。
表3 2116个测点的模型残差概率分布
Tab.3 Probability distribution of model residuals of 2116 points
模型残差范围(μm)测点数量模型残差范围(μm)测点数量(-24,- 22]1(-2,0]308(-22,- 20]1(0, 2]354(-20,-18]1(2, 4]244(-18,- 16]4(4, 6]222(-16,- 14]8(6, 8]136(-14,- 12]18(8, 10]82(-12,-10]31(10, 12]44(-10,- 8]66(12,14]23(-8,- 6]116(14, 16]2(-6,- 4]191(16, 18]3(-4,- 2]260(18, 20]1
表4 529个测点的模型残差概率分布
Tab.4 Probability distribution of model residuals of 529 points
模型残差范围(μm)测点数量模型残差范围(μm)测点数量(-18,- 16]1(4, 6]43(-16,- 14]2(6, 8]46 (-14,-12]5(8,10]28(-12,- 10]10(10, 12]6(-10,- 8]19(12, 14]5(-8,- 6]28(14, 16]5(-6,- 4]44(16, 18]2(-4,- 2]67(18, 20]1(-2,0]78(20, 22]0(0, 2]76(22, 24]1(2, 4]62
根据(8)式计算出了最终的模型残差的检验统计量Z，在显著性水平为0.01的条件下，接受残差具有空间独立性的假设，并且残差服从正态分布。 建模及计算结果如表5所示，确定性曲面表示确定性几何偏差，而残差表示随机性几何偏差。
测点数量与检验模型残差存在一定的关系：测点越多，检验模型残差分解得越精细，越能反映整个曲面的随机误差分布，但测点太多将影响测量的效率；反之，测点越少，检验模型残差分解得越粗糙，不能充分反映整个曲面的随机误差分布。
表5 确定性曲面建模结果
Tab.5 Modelling of deterministic surfaces
测点数量2116529测针直径d(mm)58确定性曲面的控制点数量20×1913×13曲面次数3×33×3确定性偏差范围(μm)(23.1, 154.5](41.7, 150.0]残差的自相关系数I0.0750.043残差的检验统计量Z2.0641.993随机性偏差范围(μm)(-23.1, 18.9](-16.8, 23.2]随机性偏差平均值(μm)0.20.5
(a)2116个测点
(b)529个测点
图4 两种情况下的确定性偏差图
Fig.4 Deterministic deviations for two cases
图5 2116个测点的随机性偏差
Fig.5 Random deviations of 2116 measurement points
图6 529个测点的随机性偏差
Fig.6 Random deviations of 529 measurement points
图4为两种情况下的确定性偏差图，图5、图6所示为两种情况下的随机性偏差。由图4可以看出，两种确定性偏差总体上具有一定的相似性，但采用2116个测点的确定性曲面模型更精细，复杂程度比采用529个测点的情况大。确定性曲面模型的复杂程度取决于控制点的数量，也就是与测点数量及其分布密切相关。由图5、图6可以看出，两种情况的随机性偏差也具有明显的不同，采用2116个测点的随机性偏差同样更精细，复杂程度比采用529个测点的情况大，这是由测量参数即测点数量和测针直径不同导致的结果。在曲面的曲率变化比较大的地方，加工刀具的受力情况变化往往也比较大，影响加工余量的去除，造成的随机偏差也比较大。另外，工件材质的不均匀、工艺系统刚度不稳定等因素也会导致随机偏差的产生。
4 结论
对自由曲面进行检测获得的几何偏差结果进行分析，有助于对自由曲面加工过程出现的问题进行深入分析。曲面的几何偏差是由加工误差引起的，工艺系统的系统性、确定性误差源往往导致加工曲面产生重复性的几何偏差。通过消除或减少加工过程中的这些误差源，可以达到减小几何偏差的目的。
高精度CMM检测获取的自由曲面几何偏差具有空间数据的特征。本文提出一种应用空间统计方法对自由曲面的几何偏差进行研究的方法。 该方法对曲面的确定性偏差进行迭代建模，并在迭代的每一步检验模型残差的空间统计特性，直到模型残差满足空间统计的独立性要求，使随机性偏差从测量数据中分解出来。 对一个数控加工的自由曲面进行了实验验证，对获取的2116个和529个测点数据进行空间统计分析和确定性曲面建模，结果表明，所获得的确定性曲面模型与测针直径、测点数量等测量参数密切相关。将该模型用来修改数控加工程序，提高加工精度，是下一步需要深入研究的方向。
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