RV减速器转臂轴承的优化设计

RV(rotate vector)减速器作为工业机器人专用的一种精密减速器，具有承载能力强、传动精度高、扭转刚性大、回差小、效率高、体积小、质量小、结构紧凑等优点。统计数据显示，集成于曲柄轴和摆线齿轮的转臂轴承是RV减速器中的薄弱环节，其疲劳寿命直接决定了RV减速器的整机寿命，因此，提高转臂轴承的疲劳寿命是提高RV减速器整机疲劳寿命的关键。

目前国内外学者对集成于曲柄轴和摆线齿轮的一体化结构轴承的设计与性能优化方法研究甚少，研究成果主要集中于标准结构滚动轴承的设计与优化，并已形成了比较完善的理论和方法。CHANGSEN[1]设计了一种基于梯度的滚动轴承数值优化设计方法，以基本动载荷为目标函数，结合相关的几何约束，描述了圆柱滚子轴承的优化设计过程。HARRIS等[2]对各种滚动轴承的静态和动态载荷分布进行了分析。CHAKRABORTHY等[3]对深沟球轴承进行设计优化，提高了轴承基本额定动载荷。在文献[3]的研究基础上，RAO等[4]在设计中还考虑了轴承宽度以及与内外滚道厚度有关的其他约束。GUPTA等[5]选择基本额定动载荷、静态载荷和弹流动态最小膜厚度作为目标函数，使用非支配排序遗传算法 (NSGA Ⅱ)进行多目标进化，获得深沟球轴承的Pareto前沿面。KUMAR等 [6]利用遗传算法对圆柱滚子轴承进行优化，提高了基本额定动载荷。在此基础上，KUMAR等 [7]还考虑了圆柱滚子的修形参数对轴承寿命的影响。LIN[8]结合微分进化与实数编码遗传算法对深沟球轴承进行了设计优化。WAGHOLE等[9]采用人工蜂群算法、差分搜索算法、网格搜索法等结合的混合方法作为优化程序对滚针轴承进行优化，提高了轴承的基本额定动载荷。KIM等[10]利用微遗传算法对角接触球轴承进行优化，提高了轴承轴向刚度和径向刚度。

本文以集成于曲柄轴和摆线齿轮的RV减速器转臂轴承为对象，选取轴承的节圆半径、滚子直径、滚子数量、滚子的有效长度作为独立的4个几何变量，从几何、强度、润滑和摩擦方面来确定约束，采用实数编码遗传算法对轴承设计问题进行优化设计，并进行了灵敏度分析用以研究制造误差对目标函数的影响。

1 设计优化

RV减速器转臂轴承三维结构如图1a所示，结构简图见图1b。转臂轴承结构包括圆柱形滚子，以曲柄轴外径作为内滚道，以摆线轮坐标孔作为外滚道。

在RV减速器所有的失效情况中，绝大多数失效是由转臂轴承的故障引起的。提高转臂轴承的疲劳寿命，能够使整个RV减速器系统的使用寿命延长。轴承的疲劳寿命可以表述为

式中，L10为轴承达到90%可靠性时的疲劳寿命；n为轴承转速；Cd为基本额定动载荷；p为等效径向载荷；ε为寿命指数，圆柱滚子轴承取10/3。

1.1 目标函数

基本额定动载荷是决定轴承寿命的最关键因素，它的值是轴承的基本额定寿命恰好为100万转时轴承所能承受的载荷。单列圆柱滚子轴承基本额定动载荷的表达式为[2]

式中，le为滚子的有效长度；Z为滚子数量；Dr为滚子的平均直径；Dm为轴承节圆直径；λν为修正系数[2]，取0.83；bm为轴承几何精度改进系数，取1.1。

目标函数是Cd的最大化，即

1.2 设计变量

由式(2)～式(4)可知，轴承的基本额定动载荷用内部几何参数的函数可表示为

因此，设计变量向量表示为

1.3 几何设计变量的约束

本节推导了获得设计变量边界的过程，缩小了遗传算法运行过程中的搜索空间，有助于解的更快收敛。

约束条件1和约束条件2 滚子平均直径最小值应能承受外部载荷引起的接触应力，最大值通过几何结构确定。线接触的接触应力方程为[2]

式中，

为最大接触应力；Qmax为滚子承受最大载荷时内滚道上的接触载荷；Fr为轴承承受的径向载荷。

将式(9) ～式(11)代入式(8)可得

为了计算Dr的最小值，将最大接触应力取为安全接触应力

由此得到滚子直径的下限值。滚子直径范围为

式中，Dr,L、Dr,U分别为滚子平均直径的下限值和上限值。

根据经验，滚子轴承的滚子数必定超过5个，因此由图1b可得

式中，Domax为外滚道直径最大值。

将式(13)写成约束为

约束条件3和约束条件4 由经验给定轴承滚子数最小值，根据外滚道直径的上限以及滚子直径的下限，得到滚子数的最大值，即

约束条件5和约束条件6 由于没有套圈，轴承的节圆直径由最大外滚道直径以及滚子直径确定，因此滚子直径的范围表示为

约束条件7和约束条件8 受限于RV减速器摆线轮、曲柄轴的空间结构，滚子轴承的有效接触长度不能超过最大有效接触长度，且滚子的有效接触长度不能小于滚子的平均直径，即

式中，lemax为滚子轴承最大有效接触长度。

1.4 设计约束

本节讨论的设计变量约束来自于几何、接触强度、润滑和摩擦力矩。

约束条件9 在滚动轴承中，当等效径向载荷等于基本额定动载荷时，最大接触应力不应超过2 300 MPa[6],即

式中，Di为内滚道直径；σcsafe为安全接触应力；

为当内滚道接触滚子载荷为Qimax时由内滚道和滚子之间的实际应力；bi为内滚道和滚子之间的接触线宽度。

约束条件10 类似地，外滚道接触应力也应该在安全范围之内，因此

式中，Do为外滚道直径；

为当外滚道接触滚子载荷为Qomax时外滚道和滚子之间的实际应力；bo为外滚道和滚子之间的接触线宽度。

约束条件11 为了避免滚子之间的碰撞，滚子之间应选取适当的间距[5,7]，即

约束条件12 轴承外滚道直径小于减速器允许的最大外滚道直径，即

约束条件13 圆柱滚子轴承中，滚子的有效接触长度不能大于滚子平均直径的2.5倍，即

约束条件14 为保证滚道和滚子之间每一接触处都有适当的润滑，所有接触点的最小油膜参数被限制为大于等于3[2]，因此

式中，hmin为最小油膜厚度；Sr为滚道表面的粗糙度均方根；SRE为滚子表面的粗糙度均方根，一般情况下，粗糙度均方根的值取为1.25Ra。

文献[1,11]在实验和计算的基础上得出了与实验结果非常接近的线接触最小油膜厚度计算公式：

式中，α1为润滑油的黏压系数；η0为大气压下润滑油的动力黏度；E0为轴承材料GCr15的弹性模量。

约束条件15 圆柱滚子轴承的总摩擦力矩包括外加载荷产生的力矩M1、润滑剂黏性摩擦产生的力矩Mv、滚子端面与挡边之间滑动摩擦产生的力矩Mf[2]，即

外加载荷产生的力矩

式中，f1为与轴承结构有关的系数。

滚动体穿过轴承腔内的黏性润滑剂时产生的摩擦力矩

式中，f0为与轴承类型和润滑方式有关的系数；ν0为运动黏度。

根据RV减速器传动原理，RV减速器转臂轴承的转速

式中，z4为RV减速器针齿数；no为输出转速。

由于RV减速器中转臂轴承承受的轴向力可忽略不计，故取Mf=0。所有接触处的最大摩擦力矩Mmax被限制为小于或等于极限值MLV，即

2 计算程序

遗传算法模仿自然遗传学的原理构成了搜索和优化程序，它的功能始于遗传算法参数的选择，如种群大小、选择算子、突变概率、交叉概率、交叉分布指数和变异分布指数。实数编码的遗传算法与二进制编码的遗传算法相比有诸如计算精度高、计算效率高等优点。图2示出了当前优化问题的流程图，并描述了解决给定优化问题的步骤。遗传算法由3个主要的操作流程组成，即复制、交叉和变异[12]。

3 应用程序和结果

表1提供了三款RV减速器转臂轴承的实际尺寸，选取RV-110E减速器转臂轴承作为优化对象，根据式(2)计算出轴承的基本额定动载荷Cd。表2列出了GCr15轴承钢材料特性。表3给出了遗传算法计算参数。优化过程中滚子数量取整数，节圆直径、滚子直径以及有效接触长度保留小数点后一位。以MATLAB为工具进行优化，通常在进行优化时求取目标函数的最小值点，对于本文收敛到最大值点的目标函数，将目标函数取相反数转化为通过求取最小值点得到目标函数的最大值。将得到的最佳适应度取相反数即获得原目标函数的最大值。

RV减速器以及转臂轴承使用的润滑脂为MolywhiteRE00，运动黏度ν0=5×10-5m2/s，额定输出力矩T=1 078 N·m,最大输出转速nomax=50 r/min，RV-110E中针齿数z4=40，由式(42)得转臂轴承最大转速nmax=2 000 r/min。表4给出了RV-110E结构参数。

转臂轴承的切向受力Ft、x向受力Fx、y向受力Fy，以及所受最大径向力Frmax分别为[13-14]

式中，z1为中心齿轮齿数；z3为摆线轮齿数；K1为短幅系数。

根据式(45)可得Frmax=6 871.5 N。根据式(39)可得初始设计的最大摩擦力矩Mmax=79.8 N·m。

3.1 GA实现和数据说明

对于表1中RV-110E减速器转臂轴承，首先从约束1～约束8得到基本设计变量的边界。表5列出了通过约束1～约束8获得的设计变量边界值。

使用表5中的边界值，通过数量为200的种群数生成初始设计变量。该算法运行一定代数直到最优适应度保持不变，此时表明已经实现了收敛。图3显示了最佳适应度和平均适应度随代数的变化。初始代时平均适应度较低；随着代数的增加，平均适应度逐渐增大，适应度(基本额定动载荷)最终收敛到-36 382.7 N，此时已经实现收敛。图3同时显示了最佳解随代数的变化，这是通过在每代中选择最佳解得到的。在最初的几代中，解收敛在适应度的较小值。在第22代，适应度发生突变并稳定在-36 192 N。到第48代，适应度再次突变并稳定在-36 251 N；在第88代时，适应度又有了突然的沿负方向的增大，并且直到结束一直稳定在-36 382.7 N。从图3中可以清楚地看到，随着代数的增加，最佳解得到了及时的改进。

将最终解列于表6，与表1中原有参数的转臂轴承相比，优化后的Cd值增大了32.53%。图4所示为优化后RV-110E转臂轴承结构尺寸。

采用下式比较轴承的疲劳寿命：

式中，λl为转臂轴承优化后与优化前的疲劳寿命比值；Cdg、Cdo分别为优化后与优化前基本额定动载荷。

将优化后的转臂轴承内部几何尺寸、目标函数值(即Cdg)以及疲劳寿命比值λl列于表6中。由表6可知，优化后的转臂轴承疲劳寿命能达到原有的2.08～2.56倍。

3.2 参数灵敏度分析

在生产制造时，设计参数值出现0.5%～1%的偏差是很正常的。为了更好地评价轴承设计，设计值的敏感性就显得很重要。下文将分析Dm、Dr和le在给定优化解±1%范围变化时对基本额定动载荷的影响。

选取优化后的RV-110E减速器转臂轴承进行灵敏度分析，如表7所示。在正偏差1%时，序号1、2、4、5、7所示情况违反了约束12，序号2、4、6、7所示情况违反了约束11，序号3、5、6、7所示情况违反了约束7。在负偏差-1%中，序号8、11、12、14所示情况违反约束11，序号9、10、13所示情况未违反约束。

由表7可以看出，滚子直径变化1%，目标函数值变化0.92%；有效接触长度每变化1%，目标函数变化0.78%，而节圆直径变化对目标函数影响相对最小。当滚子直径和有效接触长度同时减小1%时，在所有约束条件都满足的情况下目标函数下降最多且达到了1.7%。

整体来看，Cd的变化百分比不大，在相同的设计参数下，Cd的变化百分比与标准滚子轴承以及滚针轴承比较接近[6,9]，而小于滚珠轴承Cd的变化百分比[5]。通过灵敏度分析可以得出，RV减速器转臂轴承节圆直径小范围内波动对基本额定动载荷影响不大，滚子直径和有效接触长度对轴承的基本额定动载荷影响稍大。

4 结论

(1)本文提出了一种针对RV减速器转臂轴承的优化设计方法，可以有效延长RV减速器疲劳寿命。

(2)为了更加接近实际情况，充分考虑了RV减速器转臂轴承实际工况下的最大转速以及所受最大径向力，以此给定了更为准确的约束条件。

(3)转臂轴承参数灵敏度分析结果表明，滚子直径和有效接触长度对基本额定动载荷影响比节圆直径更大。

[1] CHANGSEN W. Analysis of Rolling Element Bearings[M]. London: Mechanical Engineering Publications Ltd., 1991.

[2] HARRIS T A, KOTZALAS M N . Rolling Bearing Analysis[M]. 5th ed. Boca Raton: Taylor and Francis Group, 2007.

[3] CHAKRABORTHY I, VINAY K, NAIR S B, et al. Rolling Element Bearing Design through Genetic Algorithms[J]. Engineering Optimization, 2003, 35 (6): 649-659.

[4] RAO B R, TIWARI R. Optimum Design of Rolling Element Bearings Using Genetic Algorithms[J]. Mechanism and Machine Theory, 2007, 42(2): 233-250.

[5] GUPTA S, TIWARI R, NAIR S B . Multi-objective Design Optimization of Rolling Bearings Using Genetic Algorithms[J]. Mechanism and Machine Theory, 2007, 42 (10): 1418-1443.

[6] KUMAR K S, TIWARI R, REDDY R S . Development of an Optimum Design Methodology of Cylindrical Roller Bearing Using Genetic Algorithms[J]. International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics, 2008, 9(6): 321-341.

[7] KUMAR K S, TIWARI R, PRASAD P V V N . An Optimum Design of Crowned Cylindrical Roller Bearings Using Genetic Algorithms[J]. Journal of Mechanical Design, 2009, 131(5): 1-14.

[8] LIN W Y . Optimum Design of Rolling Element Bearings Using a Genetic Algorithm-Differential Evolution(GA-DE) Hybrid Algorithm[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2011, 225(3): 714-721.

[9] WAGHOLE V, TIWARI R. Optimization of Needle Roller Bearing Design Using Novel Hybrid Methods[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 72: 71-85.

[10] KIM S W, KANG K. Design Optimization of an Angular Contact Ball Bearing for the Main Shaft of a Grinder[J]. Mechanism and Machine Theory, 2016, 104, 287-302.

[11] 徐弘毅. 重载滚动轴承的仿真与优化设计[D]. 北京: 清华大学, 2010.

XU Hongyi. Numerical Simulation and Optimization Design of Heavy Load Rolling Bearing[D]. Beijing: Tsinghua University, 2010.

[12] ESHELMAN L J, SCHAFFER J D . Real-coded Genetic Algorithms and Interval Schemata[J]. Foundations of Genetic Algorithms Ⅱ, 1993， 2: 187-202.

[13] 杨玉虎，朱临宇. RV减速器扭转刚度特性分析[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2015, 48(2): 111-118.

YANG Yuhu, ZHU Linyu. Analysis of the Characteristics of Torsional Stiffness of RV Reducer[J]. Journal of Tianjin University(Science and Technology), 2015,48(2): 111-118.

[14] 董向阳，邓建一，陈建平. RV传动机构的受力分析[J]. 上海交通大学学报, 1996, 30(5): 65-70.

DONG Xiangyang, DENG Jianyi, CHEN Jianping. Force Analysis of RV Transmission Mechanism[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 1996, 30(5): 65-70.