0 引言
电池荷电状态(state of charge，SOC)作为电池管理系统(BMS)的重要指标，其精确估计对保障电池组安全性和续航能力有重要意义。然而SOC作为电池内部不可直接测量的状态量，它的测量需通过其他各类方法间接获取。
安时积分法[1]作为常见的SOC估计方法易于实现，但是准确的初始SOC值难获取，且易受到噪声的干扰产生累计误差，通常需要和其他方法结合使用。开路电压法[2]测量简单，但是需要对电池进行长时间的静置，实用性差。另一类方法是基于模型的SOC观测器法。常用的电池模型有电化学模型[3]、电热模型、等效电路模型[4](equivalent circuit model, ECM)和智能计算模型，其中ECM因其精度高、计算量小等特点而常与其他各类自适应滤波器结合使用。常见的滤波方法有扩展卡尔曼滤波器(extended Kalman filter, EKF)及其变体[5]、无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filter, UKF)及其变体[6]、粒子滤波器[7]、龙贝格观测器[8]和H∞观测器。这类方法的共同的缺点是只能离线参数辨识，无法实现参数实时更新。
文献[9]使用了递推最小二乘(RLS)法在线更新电池模型参数，同时采用观测器法估计SOC。该方法虽然能取得较好的估算精度，但是只适用于仅有输出噪声的情况，实用性差。文献[10]使用了双卡尔曼滤波算法，能够实现参数的在线更新，但文中采用了对模型精度要求较高的EKF进行SOC估计，并且未考虑噪声对模型参数的影响。文献[11]虽然考虑了噪声对模型精度的影响，但没能提出模型参数在线更新的方法，进而在实际应用中不能很好地反映电池的实际状态。
针对以上问题，本文提出了基于Frisch 方案[12-13]的双滤波(英文全称FSDF)算法。文中首先考虑锂电池中开路电压和SOC之间的迟滞效应的影响，将Preisach模型和一阶RC模型结合建立新的电池模型，随后证明噪声会导致模型参数辨识出现偏差。为了减小噪声的影响，采用了Frisch 方案对充放电电流和端电压的噪声方差进行估计，从而得到噪声含量较少的电流和端电压，随后采用EKF结合UKF进行模型参数的实时更新和单体电池SOC的在线估算。
1 电池模型的建立
1.1 Preisach离散模型
Preisach模型(PM)是一种广泛使用的表征迟滞效应的工具。该模型被构造为由无限个简单的迟滞算子γαβ(α和β分别表示上阈值和下阈值)叠加而成。为了表示锂电池开路电压与电池荷电状态(OCV-SOC)非线性滞回关系，采用Preisach模型将其描述为
UOC(t)=∬α≥βξ(α,β)γαβS(t)dαdβ
(1)
其中，UOC(t)和S(t)分别为t时刻的开路电压和SOC值,ξ(α,β)为权重函数。以α为横轴、β为纵轴建立坐标系。在式(1)中，当SOC发生变化时，在平面α≥β中的每个点(α,β)对应的γαβ将在±1之间切换。
由于输入范围通常是有限的，因此只需将以直线α、β和α=β 3条线组成的直角三角形作为Preisach平面，如图1所示。将三角形的直角边等分为相同的n个部分，则三角形被分为N=n(n+1)/2(N=15,n=5)个正方形Ak，k=1,2，…,N。每个方块可以表示为
Ai(i-1)/2+j={(α，β)|βj≤β<βj+1,αi≤α<αi+1}
(2)
其中，j≤i；i,j=1,2,…,n。假设每个Ak的权重函数ξk为常数，将式(1)离散化可得
(3)
图1 离散Preisach算子方案
Fig.1 Scheme of discrete Preisach operator
令迟滞状态为εk，εk可以表示为
εk(t)=∬Si(i-1)/2+jγαβS(t)dβdα
基于以上分析，式(3)可以表示为
UOC(t)=εT(t)ξ
(4)
ε(t)=(ε1(t),ε2(t),…,εN(t))T ξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)T
其中，ξ和ε(t)为有相同维度的权向量。向量ε(t)由滞后曲线中对应时间点为t时刻的输入来确定。ξ由计算机离线求解函数得到。
1.2 一阶RC模型结合Preisach离散模型
一阶RC模型如图2所示。其中，UOC为电池开路电压，R0为欧姆内阻，C1为极化电容，R1为极化电阻，IL为放电电流，图中方向为正，Ut为开路电压。
图2 一阶RC模型
Fig.2 First-order RC model
当电池放电时，根据基尔霍夫电压电流定律结合式(4)得
(5)
时间常数τ(t)=R1(t)C1(t),根据式(5)可得
(6)
2 输入输出噪声方差估计
假设电池模型组成系统的传递函数为
其中，A(q-1)=1+a1q-1+…+anaq-na，B(q-1)=b1q-1+…+bnbq-nb。在电池模型中，输入电流IL和输出端电压Ut都是含噪声的量，假设这些噪声均为加性噪声，则可表示如下：
(7)
其中
和
分别为输出Ut0,k和输入IL0,k的噪声；Ut,k和IL,k分别为无噪声输出和输入。假设和为高斯白噪声，其均值为0，方差分别为σU和σI。
令φu0,k=(IL0,k,IL0,k-1)T,φy0,k=(-Ut0,k-1)T，
定义任意两个向量p和q，p的自协方差矩阵以及p和q的协方差矩阵分别为
Σp=E(ppT) Σpq=E(pqT)
向量p和一个随机变量r的协方差矩阵为
Γpr=E(pr)
由于输入输出中的噪声均为高斯白噪声，故
其中
为了求解σU和σI，采用了Frisch方案对向量φ0k进行如下处理。
根据Frisch方案可得
(8)
其中，λmin(F(k))为F(k)的最小特征值；Inb为2阶单位矩阵。
令
(9)
定义
δ=(a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb)T
其中
和
分别为A(q-1)和B(q-1)的估计。则
的样本协方差为
(10)
令
(11)
其中，
为t时刻端电压噪声的估计；
为负载电流的噪声估计。将Σμ和Σμ0进行比较，令
VN(σI)=ψTMψ
(12)
其中，ψ为残差向量；M为正定权重矩阵；z可以根据实际需求选取。
根据式(12)可以得出
的解:
(13)
根据式(9)和式(13)可求出电流和端电压的噪声协方差，再根据式(7)可求得滤除噪声的电流和端电压。
3 参数辨识和SOC估计
3.1 模型初始参数辨识
为了得到模型的初始参数，参考了《Freedom CAR 功率辅助型电池测试手册》对锂电池进行HPPC测试实验。在室温条件下，以1 C(电池额定容量大小的电流对电池放电1 h)放电电流放电5 min，然后静置10 min，再以同样的电流充电5 min，充放电设备记录锂电池端电压和电池表面温度，一个周期的电流和电压曲线如图3所示，其中U1，U2，…，U5为电池的5个充放电瞬间的电压，根据分析可得
(14)
(15)
(16)
式中，U4、U5分别为t4、t5时刻的端电压。
图3 HPPC实验电压电流波形
Fig.3 HPPC experimental voltage and current waveforms
3.2 双卡尔曼滤波进行参数更新和SOC估计
根据SOC的定义，得出SOC值的表达式：
(17)
式中，S0为初始SOC值;η为充放电效率,η≤1;CN为电池的额定容量;i(t)为电池的实际电流,充电时，i(t)<0;放电时，i(t)>0。
为了应用卡尔曼滤波，将式(17)离散化得
(18)
结合式(5)、式(6)、式(17)可得电池模型的离散空间状态方程和输出方程：
(19)
其中，ωk、πk、vk为相互独立的高斯白噪声。
根据式(19)可得如下方程：
(20)
双滤波算法具体过程如下。初始化：
(21)
(1)参数更新过程。EKF时间更新：
(22)
(2)UKF进行SOC估计过程。
①产生k-1时刻的样本sigma点：
(23)
其中，b为电池状态变量的维数，b=2。ζ=α2(n+λ)-n，α=0.8，λ=0，β=2。
②权重计算:
(24)
③时间更新。计算k时刻系统状态的先验估计和先验估计误差协方差：
(25)
④量测更新。计算k时刻的量测估计的预测值和误差协方差:
(26)
⑤先验估计
和量测估计
的协方差以及UKF增益更新：
(27)
⑥电池模型状态和误差协方差后验估计：
(28)
(3)通过先验估计对EKF量测更新：
(29)
(4)参数更新：
(30)
3.3 算法流程图
根据以上的内容，可得出双滤波算法的框图，如图4所示。
图4 FSDF框图
Fig.4 FSDF block diagram
4 实验验证与分析
4.1 实验设计
为了验证本文中算法的有效性，对12节标称容量为20 A·h、额定电压为3.2 V的锂电池串联成的电池组进行UDDS工况测试，图5为测试电流曲线。在25 ℃的条件进行一次循环放电，放电时间为1 500 s，采样间隔为1 s。单体锂电池的初始参数如表1所示。
图5 放电电流曲线
Fig.5 discharge current curve
表1 初始参数
Tab.1 Initial parameters
参数初始值参数初始值额定容量CN(A·h)20极化电容C1(F)300欧姆内阻R0(Ω)0.03时间常数τ(0)6极化内阻R1(Ω)0.02初始SOC值S0(%)90
图6 SOC估计曲线
Fig.6 SOC estimation curve
4.2 实验结果分析
实验选择将估算精度较高的安时积分法所得SOC值做为参考值。首先将电池进行充分静置，然后测其开路电压(OCV)，再根据SOC-OCV曲线得出SOC值，并将其作为初始SOC值。然后使用BTS-48 V/50 A电池循环寿命测试仪将图5所示的电流曲线加载到电池组上，其电流电压传感器的测量范围为0～50 A和0～48 V，而测量精度在±0.1%以内。另外为了验证算法的可行性，将EKF-UKF方法去噪声前的信号和RLS-UKF算法去噪声前后的信号在相同的实验条件下与本文算法结果对比。SOC变化曲线如图6所示。从图中可以得出，本文双滤波算法FSDF和参考值相比有一定的偏差，但是最大偏差小于2%，最大偏差出现在SOC为45%～55%之间。主要原因在于端电压的测量有一定的误差，并且在此区间OCV随SOC变化很小。而Frisch 方案RLS-UKF(FSRLS-UKF)方法开始具有较好的估算精度，但是在900～1 200 s内偏差达到2.5%，主要原因也是OCV和SOC的相关性小，且算法性能不及FSDF算法。而未去噪声的EKF-UKF信号和RLS-UKF信号则始终都有一定偏差，而且在1 200～1 500 s之间基本偏离了参考值，主要原因是噪声对参数辨识和SOC估计的影响。
为了评估算法的性能，做如下定义：
误差偏差
(31)
误差方差
(32)
误差极差
(33)
图7所示为4种算法的误差方差Gk，从图中可以得出FSDF算法的Gk最小，表明FSDF算法相对于参考值的波动最小，而FSRLS-UKF算法次之，而RLS-UKF算法的Gk最大。通过对比分析得出：①噪声对SOC的估计影响较大，不容忽视，进而证明采用Frisch 方案减少噪声影响的必要性；②EKF-UKF算法较RLS-UKF算法具有更高的估算精度，说明EKF-UKF算法性能优于RLS-UKF算法。表2中给出了4种算法的Gk和G∞的最大值，对这4种算法的性能进行评估得出FDKF估算方法的性能优于其他3种方法。
图7 SOC误差方差变化曲线
Fig.7 SOC error variance curve
表2 不同估计方法的性能对照
Tab.2 Comparison of performances of different estimation methods
FSDFEKF-UKFFSRLS-UKFRLS-UKFGk(%)0.536 8090.966 9150.773 9381.045 706G∞(%)1.72.92.53.5
图8所示为FSDF方法对电池模型参数的辨识结果，为了验证噪声对模型精度的影响，本文采用去噪声前的EKF-UKF方法的辨识结果和去噪声后的辨识结果进行对比。参考值的获取通过如下方式：①选取特定的时间点，对放电电流和端电压进行测量；②根据每个时间点电流阶跃变化时电压跳变计算出欧姆内阻R0(式(14))；③根据电流阶跃变化时电压的迟滞变化计算出极化内阻R1和极化电容C1(式(15)、式(16))。
(a) 欧姆内阻辨识曲线
(b) 极化内阻辨识曲线
(c) 极化电容辨识曲线
图8 参数辨识结果
Fig.8 Parameter identification results
根据实验曲线分析可得：①虽然噪声对欧姆内阻的影响较小，但是对极化内阻和极化电容的影响较大，因而它对模型的影响不容忽视；②电池内部的参数都是随时间实时变化的，那些采用固定电池模型的SOC估算算法很难达到理想SOC估计精度；③由于RC网络在充电和放电过程中更依赖于电池的化学反应，所以R1和C1的变化比R0更不规则。
5 结论
本文为考虑开路电压和SOC之间的迟滞效应的影响，将一阶RC模型和Preisach模型进行组合得到新的电池模型；为减小噪声对模型参数和SOC估算精度的影响，采用Frisch 方案对模型中的输入输出进行噪声方差估算，从而得到了含噪声较少的输入输出，进而得到精度较高的状态方程和观测方程。随后采用了双滤波法进行参数辨识和SOC在线联合估计。为了验证该算法，将本文提出的算法分别与EKF-UKF、FSRLS-UKF和RLS-UKF算法进行对比，通过实验验证得出，该算法在估算精度上与参考值的最大偏差为1.7%，较FSRLS-UKF算法提高了0.8%，而较RLS-UKF算法提高了1.8%。因此该算法行之有效。
下一阶段将继续本文提出的算法研究。该算法在SOC估计时，虽然能取得不错的精度，但是计算过程较为复杂，因此需要对算法做进一步优化，在保证精度的同时降低算法复杂度。另外，本文的算法只是研究单体电池在常温下的SOC估计，而电池在放电过程中电池内部温度会升高，为了使算法的实用性更强，接下来将会把温度做为影响因素加入算法中，以提高算法的实际应用能力。
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