0 引言

错颌畸形是牙弓闭合异常、牙齿排列不齐及颌骨位置失调等一系列疾病的统称，在青少年阶段的发病率极高[1-3]。错颌畸形还会影响颌面的发育和口腔的功能，进而造成面貌欠佳、生活障碍，导致严重的心理问题[4-5]。固定矫治是目前应用最为广泛的治疗手段，它利用正畸弓丝对牙上的固定矫治器施加作用力，使得牙列在约束力的作用下恢复到理想的状态[6]。

采用手工弯制正畸弓丝时，弓丝成形质量取决于医师的操作水平[7-9]。不同的病例需要不同参数的正畸弓丝，还需要反复弯制才能得到目标效果，因此效率较低且弓丝易产生疲劳损伤[10-12]。利用机器人技术进行正畸弓丝的弯制可以有效地克服上述缺点[13-15]。对于基于机器人的正畸弓丝弯制系统，弯制算法是影响其工作效率及成形准确性的重要因素，对正畸弓丝进行准确的三维数字化表达作为研究弯制算法的基础也具有重要的研究意义[16-17]。

目前，世界上公认的技术最为成熟的弯制机器人是美国的SureSmile系统，它融合了口扫和弯制等多项功能[18]。利用该系统，THARON等[19]进行了针对牙齿倾斜移动矫治的弓丝形态规划，并对实验结果进行了评估。GILBERT[20]开发了适用于舌侧矫治的正畸弓丝规划系统，该系统能在二维平面内设计并弯制正畸弓丝。胡玮等[21]基于数学上的局部连续取值法提出了以牙弓弧形长度、牙弓深度和牙弓宽度为参数的正畸弓丝几何形状的表达方法。张林[22]比较了数理方法、有限元分析法等方法对经典牙弓曲线进行拟合的优劣。ZHANG等[23]通过对正畸弓丝三维模型进行线性切割和拟合，开发了正畸弓丝的弯制系统及其配套的规划设计软件。目前基于机器人技术的正畸弓丝弯制大多是位于平面范围内的[24-25]，只适用于简单曲线形状的弯制，精确度受到了制约，而关于复杂曲线形状建立个性化的三维弓丝模型的研究报道较少。弯制算法主要分为成形控制节点的规划和弓丝空间角度规划两部分，结合适当的正畸弓丝三维模型，可为机器人弯制正畸弓丝提供有效的控制策略[26-27]。

本文基于正畸弓丝机器人弯制成形的特点，研究了正畸弓丝的三维数字化表达，提出了基于控制点规划和角度规划的弯制算法，以保证机器人弯制正畸弓丝的效率与精确性。并选取一例临床患者上颌的三维节点信息进行了正畸弓丝弯制实验研究。

1 口腔正畸弓丝三维数字化表达

对口腔正畸弓丝进行三维数字化表达，量化正畸弓丝在三维空间内的形状、位置和约束关系，是进行机器人弯丝的基础准备。在实际治疗中，正畸弓丝需要与固定于牙面的托槽相配合连接。根据定位的特点，弓丝轮廓线可归纳为托槽段部分的空间直线，以及各托槽段间连接部分和功能曲线部分的空间曲线。提取各部分特征找到对应合适的表达方式并加以整合即可完成口腔正畸弓丝三维数字化表达，其中空间曲线的表达最为关键。

在正畸弓丝弯制成形过程中，正畸医师通常将托槽槽沟位置的直线段正畸弓丝向两侧延伸若干长度并进行位置标记，如图1所示。选取托槽槽沟两侧端点作为牙位标识点，牙位标识点即正畸弓丝成形基准点，如图2所示。连接每个托槽上的一对标识点所得到的线段即托槽段空间直线，如图3所示。

应用计算机图形学中的常用曲线来表达正畸弓丝的空间曲线。由正畸弓丝的成形特点可知，一段空间曲线的形状位置应由少数控制点进行驱动，其中以两个牙位控制点分别为起始控制点和终止控制点，且通过控制点和相应参数的改变来对空间曲线进行灵活调整，曲线成形应光滑，因此，采用三阶贝塞尔曲线对空间曲线部分进行表达，如图4所示。

贝塞尔曲线是由一组控制点唯一定义的多项式曲线，每个点均可由控制点坐标经加权计算得到，加权值由t值和Bernstein基函数确定，其空间坐标参数方程为

其中，t∈[0,1]，Pi(xi,yi,zi)为各控制点的位置坐标，i为控制点顺序号。

建立三维的弓丝模型至少需要有4个控制点P0、P1、P2和P3，将各控制点代入式(1)后，贝塞尔曲线可简化表达为

P(t)=P0(1-t)3+3P1t(1-t)2+3P2t2(1-t)+P3t3

(2)

起始控制点P0和终止控制点P3的坐标由牙位标识得到，而两个中间控制点P1和P2的坐标通过投影分配方法得到，如图5所示。通过联立方程，可求出相邻两牙位段在空间上的交点N(x,y,z)。设A2和B1为顺时针方向上分属两相邻牙位上的相邻牙位标识点，连接A2N和NB1并分别将其按照比例系数r1和r2分配长度，分配点的坐标点即P1和P2控制点，其表达式如下：

式中,a、b分别为A2N和NB1方向上的单位向量。

以比例系数r分别为0.50、0.75、1.00、1.25为例进行MATLAB仿真，研究发现，各曲线与两侧粗实线代表的牙托槽部分均为平滑过渡衔接，满足使用要求。t值在[0,1]范围内取值的次数越多，P(t)在曲线上的分布就越密集，得到的曲线就越光滑，进而可用于弓丝曲线部分模型的建立。人的上下颌各有14颗牙齿，所以上下牙列均需由13条贝塞尔曲线和14条由牙位标识连接所成线段互相交错连接而成形出弓丝三维曲线模型。

选取一例患者的上下颌牙弓节点坐标来对该表达方法进行验证，其中比例系数r均设定为0.5。基于贝塞尔曲线建立的上下颌弓丝三维模型仿真结果见图6，其中粗实线部分表示弓丝位于托槽段的部分，细实线表示贝塞尔曲线连接部分。从图6中可以看出，贝塞尔曲线连接部分与牙槽所在的直线段均连接光滑，正畸弓丝的整体空间位置及形态基本符合实际牙弓形态，可用于后续的弯制方法研究，因此，该表达方法具有合理性和实用性。

2 口腔正畸弓丝机器人弯制方法

2.1 正畸弓丝曲线成形方式

本文以哈尔滨理工大学制造的直角坐标型正畸弓丝弯制机器人系统为研究对象，其工作空间位于笛卡儿坐标系内，直线成形精确，而曲线成形误差范围较大。因此本文采用X、Y、Z轴3个方向上的独立运动或联动来实现正畸弓丝空间直线的弯制，采用插补的方式以离散的运动形式表达连续的状态，用细分的直线段连接代替光滑的曲线，以实现正畸弓丝空间曲线的弯制。

该系统的弯制过程稳定，弯制精度固定，根据弯制机理，任意一段空间曲线的插补点是有限个数点，因此选用直线插补进行替代。将曲线按插补点分割为若干连续的曲线段，连接每个曲线段的端点来构建替代直线，则完整的曲线表达见图7，其中长粗线段为托槽部分的空间直线段，连接两长粗线段间的长细线段为实际空间曲线，重叠于长细线段之上的短粗线段为替代实际曲线的插补直线段。

2.2 弯制成形点的控制规划

弯制成形点控制规划是指根据牙弓空间曲线各功能段位置和形状特点，来确定各直线段的长度及起始点位置。用于替代弓丝曲线部分的插补直线段数被称为细分数，对于某段给定的曲线，细分数越大则每条插补直线段的长度越小，连接后形成曲线与贝塞尔曲线相似度越高，机器人弯丝的精度越高。

基于空间有限点展成法的思想，即在空间范围内的有限个关键点之间搜索控制节点，对于正畸弓丝空间曲线段，其关键点就是空间曲线段起止位置的两个牙位标志点，控制节点即离散的弯制成形点。对各个贝塞尔曲线部分进行离散规划，其规划流程图见图8，具体步骤如下：

(1)建立曲线模型。结合牙位标识建立直线段空间模型，基于每段曲线的4个控制点建立连接曲线及功能曲线的贝塞尔曲线模型，顺次连接建立完整的弓丝曲线三维模型。

(2)计算空间曲线的长度。对各贝塞尔曲线部分进行离散，离散点即弯制成形点，顺次连接离散点qj(xj,yj,zj)，j=(1,2,…,N)，可得到替代贝塞尔曲线的插补直线段。空间曲线长度即可近似为N-1条替代直线段的长度和L。

(3)初始设定。结合弓丝曲线长度，且保障直线段连接后形成的曲线光滑，给定合适的细分数m和等长直线段长度l，则有L=ml。设定机器人的弯制精度k。

(4)比较l与k的大小。当0<l<k时，机器人的精度无法满足设定的长度要求，则转向步骤(3)，并重新设定初始精度值；当0<k≤l时，机器人动作精度可保证设定长度的准确弯制。

(5)存储细分数m、等长直线段长度l、弯制精度k、总长L等信息。

(6)程序结束。

本文不考虑机器人本体性能的影响，只研究成形点规划的影响因素m、l的影响。选取某一普通病例作为研究对象，确定曲线段总弧长及细分后的各段弧长与对应直线段的长度之间的关系，并对节点规划误差进行分析。

已知某一患者上颌右第二、第三磨牙间的空间曲线控制点信息，如表1所示。选取细分数m分别为2、3、5进行实验，l值、所对应的弧长差值及误差率的结果如表2所示。

由表2可知，细分数取值越大，每一段误差率就越小，直线连接后的形状越光滑，与原始的贝塞尔曲线形状间的差异也越小。各段的误差率e<0.388 46%，总长的误差率e<0.228 08%，均满足实际使用要求。

2.3 弯制成形点的角度规划

弯制成形点处的角度变化也是影响弓丝成形的重要因素。相交于弯制成形点的两线段为角的两边，该成形点即为角的顶点，由此构成了该弯制成形点处的弓丝角度。对于直角坐标机器人，它每一次基本的旋转动作都是位于平面上的，因此,为得到弯制空间角度，需要对机器人在XY平面、YZ平面及XZ平面上的基本弯制角度进行合成。

假设顺次连接而成的两相邻线段的3个弯制成形点分别为q1(x1,y1,z1)、q2(x2,y2,z2)和q3(x3,y3,z3)，其中q2为两线段所夹角度顶点。则各线段的方向矢量分别为

q2点处弓丝空间角度θ可表示为

空间角度可借助投影面上的角度求得，如图9所示，空间两相邻线段分别向XY平面、YZ平面及XZ平面投影，其夹角分别为α、β、γ，投影面上的夹角可由各面上投影点组成的向量间夹角求得。

由空间夹角与对应投影面上夹角的几何关系可知，弓丝三维空间上夹角可由任意两投影面上的夹角合成得到，本文拟采用α和β作为θ的基本参数，其计算过程如图10所示。

(1)将相邻直线段向XY平面投影，通过向量方法解得投影夹角。

(2)引入回弹余量，求解能在回弹后达到α角的实际弯制角度

(3)弯曲模具带动弓丝弯折部分绕弓丝逆时针旋转角。

(4)弯曲模具绕弓丝顺时针旋转角后，弯曲模具复位。

(5)弓丝由卡盘带动绕自身逆时针旋转90°。

(6)将相邻直线段向YZ平面投影，通过向量方法解得投影夹角β。

(7)引入回弹余量，求解能在回弹后达到β角的实际弯制角度

(8)弯曲模具带动弓丝弯折部分绕弓丝逆时针旋转角。

(9)弯曲模具绕弓丝顺时针旋转角后，弯曲模具复位。

(10)弓丝由卡盘带动绕自身顺时针旋转90°后，弓丝复位。

完成上述步骤即可得到所需空间角度θ。

2.4 正畸弓丝弯制过程的规划

正畸弓丝弯制机器人系统的弯制工作原理为：电机带动正畸弓丝沿轴向进给以控制两弯制成形点之间的弓丝长度，弯曲模具带动穿过其中的正畸弓丝旋转以弯制理想的弯制角，卡盘带动正畸弓丝绕进给轴方向旋转，变换弯制平面，以实现空间夹角的弯制。结合弯丝机器人的弯制动作和弯制成形点的规划及弯制成形点处角度的规划，可得到基于弯丝机器人进行正畸弓丝弯制的总体过程，其流程如图11所示。

(1)根据规划得到相邻两弯制成形点之间的距离(即等长直线段长度)l，可确定待弯制正畸弓丝的进给长度为l。

(2)根据弯制成形点处的角度规划结果，依次在该成形点处完成角的弯制。

(3)该弯制成形点处角度弯制结束，卡盘带动弓丝自转恢复到初始位姿。

(4)判断该弯制成形点是否与规划结果中最后一个弯制成形点重合，若不重合，则程序转向步骤(1)，继续对下一个弯制成形点进行弯制，若重合，则进行下一步操作。

(5)对弯制好的正畸弓丝继续进给l长度的距离。

(6)程序结束。

3 正畸弓丝弯制实验

3.1 实验用例

本文任意选取了一例临床患者为实验对象，图12所示为患者上颌牙列及托槽模型。患者上颌牙列的三维节点信息如表3所示。

表3 上颌三维节点信息

Tab.3 Maxillary three-dimensional node information mm

3.2 正畸弓丝弯制实验结果

采用国产不锈钢方形丝作为实验材料，利用哈尔滨理工大学自行研制的正畸弓丝弯制机器人系统作为实验平台，如图13所示。正畸弓丝弯制机器人为直角坐标型机器人，共有5个自由度：3个控制机器人移动的位置自由度(X、Y、Z)和2个姿态自由度(U、V)，结构如图14所示。

正畸弓丝弯制机器人机构主要由基座部分、丝杠螺母运动平台部分、弓丝自转电机及弯丝电机、弓丝支撑机构部分、弓丝弯曲模具部分、带轮传动机构部分等组成。丝杠螺母运动平台具有支撑整个机器人系统以及传递各类运动的作用；弓丝自转电机上所装有的夹具可以固定弓丝，通过电机的转动带动弓丝自转至所需的角度；弓丝支撑机构用于防止弓丝在弯制过程中出现局部弯曲的现象，起到保持弓丝固定的作用；弯曲模具在带轮机构的力矩驱动下使弓丝绕模具成形。机器人各执行机构根据上位机下达的指令及控制器的作用下按程序协调完成所指定的弓丝弯制成形任务。

基于患者牙弓参数，本文进行了机器人弯制不锈钢方形丝的弯制实验研究。机器人弯制正畸弓丝弯制结果如图15所示， 成形正畸弓丝参数及误差率如表4所示，其中W1为正畸弓丝末端距离，W2为正畸弓丝近中方向距离，L1为正畸弓丝整体高度，L2为正畸弓丝近中方向高度。

表4 成形弓丝参数及误差率

Tab.4 Parameters and errors of forming archwire

由表4可知，成形弓丝各项参数相对于实验用例的误差率最大为7.68%，表明采用离散贝塞尔曲线进行控制点的规划和角度规划的方法所弯制的正畸弓丝基本符合实际临床使用标准，在临床治疗中具有一定的可行性和实用性。同时验证了该弓丝成形点规划和机器人弯制方法的合理性和有效性。

4 结论

(1)本文针对个性化口腔正畸弓丝提出了基于牙位标识的三维数字化表达方法，牙位标志间采用贝塞尔曲线进行连接，过渡光滑且便于调整，有效地缩短了医师的建模时间。

(2)基于弯丝机器人的结构和工艺特点提出了基于控制点规划和角度规划的机器人弯制算法，通过离散模型、直线插补实现了正畸弓丝模型中空间曲线部分的弯制与替代，提出了基于有限展成法的控制点规划方法和基于投影面角度合成的角度规划方法，有效地确定了弓丝弯制控制点及其空间角度的信息。

(3)对随机抽取的一组病例进行了实际弯丝操作，实验结果表明，弓丝主要参数的误差率符合临床要求，从而验证了上述基于机器人的正畸弓丝弯制算法的有效性和可行性。

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Forming Planning Method and Experimentation of Personalized Orthodontic Archwires

JIANG Jingang1 CHEN Houjun1 MA Xuefeng1 ZHANG Yongde1 LIU Yi2

1. Robotics & Its Engineering Research Center, Harbin University of Science and Technology, Harbin, 150080 2.Department of Orthodontics, Peking University Hospital of Stomatology, Beijing, 100081

Abstract:Traditional manual archwire bending was low efficiency and low bending precision，using the orthodontic archwire bending robots might overcome the shortcomings of manual bending method. The dental position was marked according to the clinical orthodontist’s common dental position identification method. The shapes, positions and constraint relations of orthodontic archwires in three-dimensional space were expressed by the Bezier curve. In order to realize the bending of the space curves for the orthodontic archwires, the continuous state was expressed in the form of discrete motion by interpolation. The planning method of forming control points based on finite point extension method and the spatial angle planning method based on the synthesis of projection plane angle were proposed. The effectiveness of robotic bending method was proved by an experiment of maxillary three-dimensional node information of a clinical patient which was conducted by an orthodontic archwire bending robot.

Key words:personalized orthodontic archwire； digital expression; forming planning method； finite point extension method； robotic bending

中图分类号：TP242；TH787

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2020.11.008

开放科学(资源服务)标识码(OSID)：

收稿日期：2019-01-25

基金项目： 黑龙江省普通本科高等学校青年创新人才培养计划资助项目(UNPYSCT-2017082)；中国博士后科学基金特别资助项目(2018T110313)；黑龙江省博士后特别资助(博士后青年英才计划)项目(LBH-TZ1705)；黑龙江省普通高校基本科研业务费专项资金资助项目(LGYC2018JQ016)

(编辑 胡佳慧)

作者简介：姜金刚，男，1982年生，教授、博士研究生导师。研究方向为医疗机器人、教学机器人。发表论文70余篇。获授权专利22项。E-mail:jiangjingang@hrbust.edu.cn。