0 引言

故障树分析方法是一种用于可靠性分析[1]、故障诊断[2]的基础性方法，得到了广泛的研究和应用。贝叶斯网络具有双向推理的特点，既可以正向推理得到叶节点的失效概率，为系统提供可靠性指标，又可以反向推理得到根节点的后验概率，为故障诊断提供依据[3]，因此贝叶斯网络分析方法同样在可靠性分析[4-5]和故障诊断[6]中广泛应用。利用故障树与贝叶斯网络综合求解，可以充分发挥两者在分析建模与推理计算方面的优势[7]。

传统故障树与贝叶斯网络结合的主要研究内容有：传统故障树向贝叶斯网络的转化(二态系统[8]、多态系统[9])，基于传统故障树的贝叶斯网络重要度(概率重要度、结构重要度、关键重要度)[10]和灵敏度[11]。传统故障树难以刻画系统全部的静态失效行为，因而转化后的贝叶斯网络也存在不能刻画全部静态失效行为的局限。针对传统故障树及其贝叶斯网络分析方法的上述不足，人们研究了T-S故障树分析方法[12]和基于T-S故障树的贝叶斯网络分析方法[13-14]。

DUGAN等[15]针对传统故障树无法刻画分析动态失效行为这一科学问题，创立了Dugan动态故障树分析方法。BOUDALI等[16]提出了基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法。此后人们对基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法开展研究，文献[17]给出优先与门、备件门、顺序相关门和功能相关门向动态贝叶斯网络的转化方法；文献[18]研究了存在公共备件的备件门和层叠功能相关门向动态贝叶斯网络的转化方法；用动态贝叶斯网络求解Dugan动态故障树出现了用确定性函数替代条件概率表[19]和复合梯形积分[20]等方法。

然而，上述方法都是基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法，受到Dugan动态故障树无法描述任意形式的静动态失效行为的限制。针对Dugan动态故障树分析方法的不足，我们提出了T-S动态故障树分析方法[21]，增强了静动态失效行为的刻画表达能力。本文为充分发挥T-S动态故障树和动态贝叶斯网络分别在系统分析建模与推理计算求解方面的优势，提出一种新型动态贝叶斯网络分析方法——基于T-S动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法：①基于T-S动态故障树构造动态贝叶斯网络，提出正向推理叶节点失效概率、反向推理根节点后验概率的求解算法；②鉴于部件重要度与系统失效概率共同构成了定量分析且Dugan动态故障树及其动态贝叶斯网络尚无完整的重要度研究文献，提出新型动态贝叶斯网络的概率重要度、关键重要度、风险业绩值、风险降低值、微分重要度与灵敏度算法，为发现系统薄弱环节和改善系统可靠性提供依据。

1 新型动态贝叶斯网络分析方法的提出

T-S动态故障树可以描述任意形式的静动态失效行为，因此将T-S动态故障树转化为动态贝叶斯网络有向无环图，将T-S动态门及其描述规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表，提出新型动态贝叶斯网络算法。

1.1 T-S动态故障树

T-S动态故障树由事件和T-S动态门组成，事件包括基本事件、中间事件和顶事件，T-S动态门用于描述事件之间存在的静动态逻辑关系。如图1所示，x1～x3为基本事件，y1为中间事件，y为顶事件，G1门和G2门为T-S动态门。

T-S动态故障树通过T-S动态门及其描述规则可描述任意静动态失效行为，无限逼近现实系统的失效行为，如图2所示。

T-S动态故障树通过T-S动态门及其描述规则可描述任意静动态失效行为，解决了现有故障树分析方法的不足。为结合T-S动态故障树在任意静动态失效行为分析建模与动态贝叶斯网络在推理计算方面的优势，基于T-S动态故障树构造动态贝叶斯网络。

1.2 基于T-S动态故障树构造动态贝叶斯网络

在贝叶斯网络的基础上引入时间节点得到动态贝叶斯网络，动态贝叶斯网络同样由一个有向无环图和若干条件概率表组成。基于T-S动态故障树构造动态贝叶斯网络分为两个步骤：T-S动态故障树转化为动态贝叶斯网络有向无环图；T-S动态门及其描述规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表。

1.2.1 动态贝叶斯网络有向无环图

将T-S动态故障树转化为动态贝叶斯网络有向无环图，如图3所示。输入事件和输出事件分别对应动态贝叶斯网络的父节点和子节点，基本事件、中间事件和顶事件分别对应动态贝叶斯网络的根节点、中间节点和叶节点。

1.2.2 动态贝叶斯网络条件概率表

将T-S动态门描述规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表。

假定系统任务时间TM平均划分为m段，时间间隔Δ=TM/m，则整个时间轴划分为[0,Δ),[Δ,2Δ), …,[(m-1)Δ,mΔ),[mΔ,+∞)，分别记为时间段1, 2, …, m, m+1。父节点xi(i=1,2,…,n)在时间段ji(ji=1, 2, …, m, m+1)发生失效，子节点y在时间段jy(jy=1, 2, …, m, m+1)的失效状态y[jy]为(by=1,2,…,ky)，且

当m=2、n=2时，规则总数r=(m+1)n=9，将T-S动态门描述规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表，如表1所示。

以规则l为例，表示父节点x1在时间段j1发生失效、x2在时间段j2发生失效，则子节点y在时间段1、2、3的失效状态y[1]、y[2]、y[3]为的失效概率分别为P(l)(y[1])、P(l)(y[2])、P(l)(y[3])。

1.3 新型动态贝叶斯网络算法

在基于T-S动态故障树构造动态贝叶斯网络的基础上，提出正向推理叶节点失效概率，反向推理根节点后验概率、重要度与灵敏度的新型动态贝叶斯网络算法。

1.3.1 叶节点失效概率

根节点xi(i=1, 2, …, n)在时间段ji(ji=1, 2, …, m, m+1)的故障状态为，中间节点y1在时间段jy1(jy1=1,2,…m,m+1)的故障状态为，中间节点y2、y3等以此类推，叶节点y在时间段jy(jy=1, 2, …, m, m+1)的故障状态为y[jy]。根节点xi在时间段ji的失效概率P(=1)为

(exp(λiΔ)-1)exp(-λijiΔ)

(1)

式中，fi(t)为下级事件xi的失效概率密度函数；根节点xi不可靠度函数为Fi(t)=1-exp(-λit)；λi为根节点xi的失效率。

假设动态贝叶斯网络的所有根节点为所有中间节点为叶节点为y。已知根节点在时间段ji的失效概率，可正向推理求得叶节点y在时间段jy的失效概率为

P(y[jy]=1)=

(2)

1.3.2 根节点后验概率

动态贝叶斯网络具有反向推理的特点，已知叶节点在某一时间段的失效概率，可反向推理求得对应根节点的后验概率。动态贝叶斯网络的根节点后验概率为

(3)

式中，P(y[jy]=1)为叶节点y在时间段jy的失效概率；P(xi=1,y[jy]=1)为根节点xi在任务时间内发生失效和叶节点y在时间段jy发生失效的联合概率。

根节点xi在任务时间内发生失效时的后验概率为

(4)

1.3.3 根节点重要度与灵敏度

在进行系统可靠性分析时，系统中的部件往往呈现出非均等重要性，重要度和灵敏度是定量分析部件在系统中重要程度的指标。通过重要度和灵敏度分析可为发现系统薄弱环节和改善系统可靠性提供依据[11,22]。

(1)概率重要度。概率重要度表示部件(根节点)状态变化引起的系统失效概率的变化程度，反映了部件在由正常到失效时引起系统失效概率变化的大小[23]。基于此，定义本文所提动态贝叶斯网络的概率重要度算法。当叶节点y在时间段jy发生失效时，根节点xi的概率重要度

IPr(xi,y[jy]=1)=

P(y[jy]=1|xi=1)-P(y[jy]=1|xi=0)

(5)

式中，P(y[jy]=1|xi=1)为根节点xi发生失效时叶节点y在时间段jy发生失效的条件概率；P(y[jy]=1|xi=0)为根节点xi正常时叶节点y在时间段jy发生失效的条件概率。

根节点xi在任务时间内的概率重要度

(6)

(2)关键重要度。关键重要度表示部件(根节点)失效概率的变化率与引起系统失效概率的变化率的比值[24]。基于此，定义本文所提动态贝叶斯网络的关键重要度算法。当叶节点y在时间段jy发生失效时，根节点xi的关键重要度

ICr(xi,y[jy]=1)=

(7)

式中，P(xi=1)O 根节点xi发生失效的概率。

根节点xi在任务时间内的关键重要度

(8)

(3)风险业绩值。VESELY等[25]提出了对系统概率风险评估的风险业绩值和风险降低值。周忠宝等[26]将传统故障树风险业绩值和风险降低值引入静态贝叶斯网络。风险业绩值是指在根节点发生失效的情况下系统不可靠度与根节点故障状态为初始值下系统不可靠度的比值。基于此，定义本文所提动态贝叶斯网络的风险业绩值算法。当叶节点y在时间段jy发生失效时，根节点xi的风险业绩值

(9)

根节点xi在任务时间内的风险业绩值

(10)

(4)风险降低值。风险降低值是指系统的不可靠度与根节点处于正常状态时系统不可靠度的比值[25]。基于此，定义本文所提动态贝叶斯网络的风险降低值算法。当叶节点y在时间段jy发生失效时，根节点xi的风险降低值

(11)

根节点xi在任务时间内的风险降低值

(12)

(5)微分重要度。文献[27]针对传统故障树提出微分重要度，它是基本事件可靠性变化引起系统可靠性变化与所有基本事件可靠性变化引起系统可靠性变化总和的比值[28]。基于此，定义本文所提动态贝叶斯网络的微分重要度算法。当根节点xi在时间段ji发生失效，叶节点y在时间段jy发生失效时，根节点xi的微分重要度

(13)

根节点xi在任务时间内的微分重要度为

(14)

(6)灵敏度。灵敏度的大小反映了叶节点随根节点失效状态变化的敏感程度，因此，灵敏度分析广泛应用于系统的特征分析和异常特征发现方面，通过灵敏度评估可以发现影响系统失效的高风险事件，为提高系统的可靠性提供依据[14]。基于此，定义本文所提动态贝叶斯网络的灵敏度算法。当叶节点y在时间段jy发生失效时，根节点xi的灵敏度

(15)

根节点xi在任务时间内的灵敏度

(16)

2 新型动态贝叶斯网络分析方法的验证与应用

为验证新型动态贝叶斯网络及重要度与灵敏度分析方法的可行性，将该方法与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法、静态贝叶斯网络分析方法进行对比。

2.1 与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法对比

以心脏辅助系统和数字飞控计算机系统为例，用新型动态贝叶斯网络分析方法与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法进行对比。

2.1.1 心脏辅助系统

用新型动态贝叶斯网络分析方法求解心脏辅助系统(hypothetical cardiac assist system,HCAS)的失效概率。建造心脏辅助系统T-S动态故障树，如图4所示。

图4中，G1～G8为T-S动态门，表示的逻辑关系分别为或门、温备件门、冷备件门、冷备件门、功能相关门、与门、优先与门、或门。y为顶事件，表示心脏辅助系统。y1～y7为中间事件,分别表示交叉开关模块、CPU单元、血泵模块的子系统1、血泵模块的子系统2、系统控制、马达模块、血泵模块。基本事件xi(i=1, 2, …, 9)的失效率λi如表2所示。基本事件xi的不可靠度函数Fi(t)=1-exp(-λit)。

将T-S动态故障树转化为图5所示的动态贝叶斯网络。T-S动态故障树的基本事件、中间事件和顶事件分别对应动态贝叶斯网络的根节点、中间节点和叶节点。

将T-S动态门描述规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表。其中，G2门表示的逻辑关系为温备件门，当任务时间划分段数m=5时，中间节点y2的条件概率表见表3。

G3、G4门表示的逻辑关系为冷备件门，当任务时间划分段数m=5时，中间节点y3(y4)的条件概率表如表4所示。

再将其他T-S动态门描述规则同样转化为条件概率表，此处不一一列举。当任务时间TM=100 000 h、任务时间划分段数m为1和5时，根据节点之间的条件概率表和式(2)，求得系统的失效概率如表5所示,并与文献[16]的结果对比。

由表5可以看出，新型动态贝叶斯网络分析方法求解的结果与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法所得的结果相同，验证了所提出的方法的可行性。

2.1.2 数字飞控计算机系统

本文用新型动态贝叶斯网络分析方法求解数字飞控计算机系统的失效概率。建造数字飞控计算机系统T-S动态故障树，如图6所示。

图6中，G1～G8为T-S动态门，表示的逻辑关系依次为温备件门、温备件门、或门、或门、与门、与门、功能相关门、与门。y为顶事件，表示数字飞控计算机系统。y1～y7为中间事件，依次表示软件系统1、软件系统2、主控制系统1、主控制系统2、旁路控制系统、主控制系统、主控制系统与旁路控制系统转换异常。基本事件xi(i=1, 2, …, 9)的失效率λi如表6所示。

将T-S动态故障树转化为图7所示的动态贝叶斯网络。T-S动态故障树的基本事件、中间事件和顶事件分别对应动态贝叶斯网络的根节点、中间节点和叶节点。

将T-S动态门规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表。例如，G1门表示的逻辑关系为温备件门，将其规则表转化为条件概率表，中间节点y1的条件概率表见表7。G7门表示的逻辑关系为功能相关门，将其规则表转化为条件概率表，中间节点y7的条件概率表见表8。

根据节点之间的条件概率表和式(2)，求得系统失效概率，并与文献[29]及用Markov链求解的Dugan动态故障树分析方法对比，如表9所示。

由表9可以看出，本文方法与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法所求结果一致，且结果更接近Markov链求解Dugan动态故障树分析方法，误差更小。

通过对比分析验证了所提新型动态贝叶斯网络分析方法的可行性,并且与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法相比，所提方法可以描述任意静动态失效行为。

2.2 重要度与灵敏度的验证

为验证所提出的新型动态贝叶斯网络重要度与灵敏度算法的可行性，将所提方法与静态贝叶斯网络分析方法进行对比。

2.2.1 静态贝叶斯网络的重要度与灵敏度

以图8所示的贝叶斯网络为例，假设任务时间TM=5 000 h，各节点寿命均服从指数分布，根节点x1、x2、x3的失效率分别为2×10-6/h、5×10-6/h、8×10-6/h。

根据节点之间的逻辑关系构建节点的条件概率表(表10、表11)。

由静态贝叶斯网络算法可以求得叶节点y在任务时间内的失效概率为

P(y=1)=P(x1)P(x3)+P(x2)P(x3)-

P(x1)P(x2)P(x3)=0.001 35

根据静态贝叶斯网络分析方法可以求得该系统根节点的后验概率为

根据文献[10-11,26]可得静态贝叶斯网络的概率重要度IPr(xi)、关键重要度ICr(xi)、风险业绩值IRAW(xi)、风险降低值IRRW(xi)与灵敏度S(xi):

IPr(xi)=P(y=1|xi=1)-P(y=1|xi=0)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

基于传统故障树微分重要度定义静态贝叶斯网络的微分重要度IDIM(xi)如下：

(22)

根据式(17)～式(22)求得各根节点的重要度与灵敏度，如表12所示。

2.2.2 新型动态贝叶斯网络重要度与灵敏度

这里用新型动态贝叶斯网络分析方法进行分析。将任务时间划分为2段，整个时间轴被划分为3段，分别记为时间段1、2、3。将T-S动态门规则转化为动态贝叶斯网络条件概率表，中间节点y1、叶节点y的条件概率表分别见表13、表14。

由式(2)和表14得到叶节点y在时间段1、2、3的失效概率

(23)

(24)

(25)

其中，分别表示中间节点y1在时间段1、2、3的失效概率。由式(2)和表13，得到中间节点y1在时间段1、2、3的失效概率

将以上结果代入式(23)～式(25)，结合式(1)所得x3在时间段1、2、3的失效概率，计算得到叶节点y在时间段1、2、3的失效概率

P(y[1]=1)=0.000 34

P(y[2]=1)=0.001 01

P(y[3]=1)=0.998 65

根据式(3)求得叶节点y在不同时间段失效时根节点x1、x2、x3的后验概率，再利用式(4)求得根节点在任务时间内的后验概率，如表15所示。

利用式(5)～式(16)求得叶节点在不同时间段失效时根节点的重要度与灵敏度、根节点在任务时间内的重要度与灵敏度，如表16所示。

对比表12、表15、表16可知，本文所提的新型动态贝叶斯网络分析方法求得的系统任务时间内根节点的后验概率、重要度及灵敏度与静态贝叶斯网络分析方法求得的对应值相同。本文方法不仅可以求得根节点在任务时间内的重要度与灵敏度，还能求得系统在不同时间段失效时根节点的重要度与灵敏度，为发现系统薄弱环节提供依据。

3 液压缸同步系统可靠性分析

液压缸同步系统在工程中广泛应用[30]，通常液压缸同步系统运动的稳定性和精度都有着严格的要求[31-32]。优良可靠的液压缸同步系统不仅能降低失效率、提高工作效率，还会降低作业的危险性。下面针对自装卸运输车液压缸同步系统进行可靠性分析[33]。图9为液压缸同步系统原理图。

为对液压同步系统进行故障分析，建造T-S动态故障树，并将其转化为动态贝叶斯网络有向无环图，如图10所示。

假设任务时间TM=10 000 h，任务时间划分段数m=5，整个时间轴划分为[0，2 000)，[2 000，4 000)，[4 000，6 000)，[6 000，8 000)，[8 000，10 000)，[10 000，+∞)，分别记为时间段1，2，…，6。假设根节点寿命均服从指数分布，各根节点xi失效率如表17所示。

叶节点y表示液压缸同步系统失效。中间节点y1～y13分别表示供油系统故障、前伸缩液压缸换向异常、前伸缩液压缸速度异常、前摆动液压缸组换向异常、回油系统故障、系统压力异常、前伸缩液压缸故障、后伸缩液压缸不同步、前摆动液压缸组故障、后摆动液压缸组不同步、泵站故障、伸缩系统故障、摆动系统故障。

3.1 叶节点失效概率

将T-S动态故障树各T-S动态门描述规则转化为动态贝叶斯网络的条件概率表，其中，备用泵x5是主泵x4的冷备件，表示的含义为当主泵失效后，启动备用泵继续为系统提供动力，直到备用泵失效，系统才会失效。将此种动态逻辑关系的T-S动态门描述规则转化为条件概率表，则中间节点y1的条件概率表见表18。

液压油x1与回油过滤器x2构成的关系为顺序强制和延时的组合，只有当液压油污染才能引起回油过滤器堵塞，若液压油不污染，回油过滤器就不会出现堵塞；而当液压油污染后，回油过滤器会根据实际情况延时一段时间再失效。将此种动态逻辑关系的T-S动态门描述规则转化为条件概率表，则中间节点y5的条件概率如表19所示。

再将其他T-S动态门描述规则同样转化为条件概率表，此处不一一列举。根据节点之间的条件概率表和式(2)，求得系统在不同时间段的失效概率，如表20所示。

根据表20的数据，求得系统在任务时间内的失效概率为0.652 92。

用基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法[16-17,19,29]求解系统的失效概率。首先，建造液压缸同步系统Dugan动态故障树；然后，将Dugan动态故障树转化为动态贝叶斯网络有向无环图并构造条件概率表；最终求得系统在任务时间内的失效概率为0.652 92。这与本文方法所得结果相同，进一步验证了新型动态贝叶斯网络分析方法的正确性。

本文方法不但能够描述系统的任意形式静动态失效行为，而且可以计算不同时间段系统的失效概率及根节点的后验概率、重要度与灵敏度。

3.2 根节点后验概率

根据式(3)可求得系统在不同时间段失效时根节点的后验概率。再根据式(4)可求得系统在任务时间内失效时根节点的后验概率，如表21所示。由表21可知，根节点x16、x21、x12、x19、x4、x17的后验概率较大，当系统发生失效进行故障检测时，应优先对这些根节点对应的部件进行排查、处理。

3.3 根节点重要度与灵敏度

为衡量系统在不同时间段故障时各部件的重要程度，根据所提的动态贝叶斯网络重要度与灵敏度算法公式，可计算系统在不同时间段故障时部件的重要度与灵敏度。利用式(5)～式(16)求得根节点在任务时间内的重要度和灵敏度，如表22所示。由表22可知，根节点x16、x21、x12、x19、x17、x20的重要度与灵敏度较大，为系统的薄弱环节，提高这些部件的可靠性对系统可靠性的提高更为有效。

4 结论

(1)本文综合T-S动态故障树和动态贝叶斯网络在分析建模与推理计算的优势，提出了一种新型动态贝叶斯网络分析方法。基于T-S动态故障树构造动态贝叶斯网络，提出了求解叶节点失效概率、根节点后验概率、概率重要度、关键重要度、风险业绩值、风险降低值、微分重要度与灵敏度的算法。

(2)将所提方法分别与基于Dugan动态故障树的动态贝叶斯网络分析方法和静态贝叶斯网络分析方法对比，验证了所提方法的可行性。新型动态贝叶斯网络分析方法不但能够描述系统任意形式静动态失效行为，而且可以计算不同时间段系统的失效概率及根节点的后验概率、重要度与灵敏度。

(3)用新型动态贝叶斯网络分析方法对液压缸同步系统进行分析，得到系统在各时间段和任务时间内的失效概率以及根节点在各时间段和任务时间内的后验概率、重要度与灵敏度，为提高系统可靠性和进行故障诊断提供了依据。所提重要度与灵敏度算法可推广移植到Dugan动态故障树及其动态贝叶斯网络分析方法。

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A Novel Dynamic Bayesian Network Analysis Method

CHEN Dongning1,2 HOU Annong3 YAO Chengyu3 HOU Xin1,2 XING Ran3

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control,Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science(Yanshan University),Ministry of Education of China, Qinhuangdao, Hebei, 066004 3.Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004

Abstract:In order to give full play to the advantages of T-S dynamic fault tree and dynamic Bayesian network in analysis modeling and reasoning calculation respectively, a novel dynamic Bayesian network analysis method, namely dynamic Bayesian network analysis method, was proposed based on T-S dynamic fault tree.First, a T-S dynamic fault tree was converted into a dynamic Bayesian network directed acyclic graph and a T-S dynamic gate and the description rules were converted into a dynamic Bayesian network conditional probability table.Then, the algorithm of novel dynamic Bayesian network was proposed for forward reasoning leaf node failure probability, backward reasoning root node posterior probability and solving root node probability importance measure, criticality importance measure, risk achievement worth, risk reduction worth, differential importance measure and sensitivity.The feasibility of the proposed method was verified by comparing with dynamic Bayesian network analysis method based on Dugan dynamic fault tree and static Bayesian network analysis method.Finally, the reliability of hydraulic cylinder synchronous system was analyzed by the method proposed herein.Failure probability of the system, posterior probability, importance measures and sensitivities of root nodes were obtained, which may provide basis for improving system reliability and fault diagnosis.

Key words:dynamic Bayesian network; T-S dynamic fault tree; importance measure; sensitivity; reliability analysis

中图分类号：TB114.3; TH137.7

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2020.12.002

开放科学(资源服务)标识码(OSID)：

收稿日期：2019-06-05

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51975508，51675460)；中国博士后科学基金资助项目(2017M621101)

(编辑 王旻玥)

作者简介：陈东宁，女，1978年生，副教授、博士研究生导师。研究方向为可靠性分析及优化。E-mail：dnchen@ysu.edu.cn。