0 引言

随着科学技术的进步，国防、航空、航天、汽车及船舶等行业对零部件制造精度要求日益提高，用户对数控机床加工精度提出了更加苛刻的要求。机床空间误差是其几何误差元素综合作用的结果，直接影响加工精度，对机床空间误差进行分析研究已成为数字制造装备精度领域的关键共性问题，具有较重要的理论意义与工程价值。

在机床空间误差建模方面，国内外学者通常以多体系统动力学理论及齐次坐标矩阵变换为理论基础。CONG等[1]利用该方法建立了五轴机床空间误差模型，并通过空间体对角线定位精度测量实验验证了该模型的有效性；VAHEBI等[2]考虑三轴机床拓扑结构对空间误差的影响，将机床平动轴划分为挤压型和滑动型，运用齐次坐标矩阵变换建立了三轴数控机床空间误差模型，并通过球杆仪测试机床两轴联动圆度误差，验证了模型的准确性；XIANG等[3]在多体系统理论基础上引入了奇异函数，分别建立了三轴和五轴机床空间误差的广义模型。

另外，国内外少数学者在机床空间误差逆向反演方面亦进行了一些研究，旨在通过识别机床关键几何误差元素，开展机床精度稳健设计，进而从根本上解决机床空间误差较大的问题。LEE等[4]根据成形理论，研究了静态误差中装配误差对五轴机床空间误差的影响程度；FUJISHIMA等[5]在回转中心上进行热灵敏度分析，研究了温度变化对热位移的影响情况，最终改进了机械结构中热敏感度段的几何结构，使得机械结构具有更高的热稳定性；程强等[6]利用矩阵微分法在敏感度分析的基础上提出了一种识别关键几何误差元素的方法，以四轴精密卧式加工中心为对象，识别出影响加工精度的关键几何误差元素；范晋伟等[7]提出了一种基于空间误差模型的几何误差元素灵敏度分析方法，得到影响机床精度的关键几何误差元素。

不难发现，现阶段针对机床空间误差的研究大多集中在正向分析层面，空间误差的逆向反演研究相对较少。现有在空间误差模型基础上借助灵敏度分析识别机床关键几何误差元素的研究成果中普遍存在如下两点局限性：①机床空间误差是其全部几何误差元素综合作用的结果，因此模型的完备性在于是否包含全部几何误差元素，然而，大多数学者构建机床空间误差模型时，忽略了机床各部件局部坐标系间初始相对位置关系及初始位置误差特征，导致空间误差模型显式表达式中缺失若干项几何误差元素[3,6,8-11]，即模型完备性缺失，进而空间误差预测精度受到影响，亦导致后续反演结果不准确；②大多数学者构建了几何误差元素灵敏度分析模型[6-7]，但仅依靠灵敏度大小作为关键几何误差元素的甄别依据并不准确有效，由于某些几何误差元素数量级较小，虽然空间误差对其较为敏感，但这些误差元素对机床空间误差的实际影响却很小，并不能将其视作关键几何误差元素。

针对上述局限性，本文以某精密卧式加工中心为对象，以多体系统动力学与齐次坐标矩阵变换为理论基础，在充分考虑机床各运动部件局部坐标系间初始相对位置关系及初始位置误差特征的基础上，联合“9线法”几何误差元素辨识技术，构建机床空间误差完备模型，进而，基于空间误差完备模型，提出并构建几何误差元素实际参预度分析方法，从而甄别出加工中心关键几何误差元素。

1 卧式加工中心空间误差完备建模方法

1.1 几何误差元素定义

机床任一运动部件沿某轴进给时，存在空间6个自由度方向的几何误差元素，故卧式加工中心总共存在与运动部件位置相关的18项几何误差元素；另外，机床各轴之间存在与位置无关的垂直度误差元素Sxy、Syz、Szx。由此，卧式加工中心共存在21项几何误差元素，对各误差元素进行编号，如表1所示。

1.2 运动链拓扑描述

某型卧式加工中心结构简图见图1，其机床坐标系COXYZ位于床身。按照多体系统低序体表达方式[12]，设床身为0号体并依次对各体进行编号，可将卧式加工中心运动拓扑划分为工件运动链(床身0—工作台1—工件2)和刀具运动链(床身0—立柱3—主轴箱4—刀具5)。切削成形点为上述运动链末端交点，进而可得图2所示运动链拓扑。

1.3 空间误差完备建模

基于图2，在各体上建立固连局部坐标系Ck(k=0，1，…，5)。其中，C0系原点与COXYZ系原点重合；C1系、C3系和C4系原点分别设置在相应运动部件丝杠螺母座几何中心；C2系和C5系原点分别设置在工作台面几何中心和主轴前端面几何中心。Ck系各轴正方向与COXYZ保持一致。

在多体系统理论中，体间实际位置关系取决于两者初始位置、相对运动关系及其对应误差[12]。因此，任意运动链中体v与其相邻低序体s间实际位置关系特征矩阵Tsv可表示为

Tsv=Tsv,pTsv,peTsv,sTsv,se

(1)

v,s=0，1，2，…，5

式中，Tsv,p、Tsv,pe、Tsv,s及Tsv,se分别为相邻体间初始位置特征矩阵、初始位置误差特征矩阵、理想运动特征矩阵及运动误差特征矩阵。

类似地，可推导出加工中心各运动链相邻体间特征矩阵，如表2所示。其中，x、y、z分别为机床X、Y、Z轴进给位移指令值。[x01 y01 z01 1]T为工作台坐标系原点在机床坐标系中的齐次坐标；[x1w y1w z1w 1]T为工件坐标系原点在工作台坐标系中的齐次坐标；[x03 y03 z03 1]T为立柱坐标系原点在机床坐标系中的齐次坐标；[x34 y34 z34 1]T为主轴箱坐标系原点在立柱坐标系中的齐次坐标；[x4t y4t z4t 1]T为刀具坐标系原点在主轴箱坐标系中的齐次坐标。

值得说明的是，由于Ck系各原点并不重合，故各体间初始位置特征矩阵不再是单位阵，即

Tsv,p≠I4×4

(2)

式(2)是确保空间误差模型完备性的关键所在。

设切削成形点P在C2系和C5系下的齐次坐标分别为Pt=[xt，P yt，P zt，P 1]T和Pw=[xw，P yw，P zw，P 1]T。根据上述运动链分析及式(1)、式(2)，结合机床空间误差定义[13]可知

(3)

式中，E为机床空间误差矢量；分别为切削成形点在工件坐标系下的实际和理想运动函数；Ex、Ey、Ez分别为空间误差X、Y和Z向分量。

将表2中各特征矩阵代入式(3)中，即可计算得机床空间误差：

(4)

分析式(4)发现，空间误差E包含了表1中全部21项几何误差元素，确保了其完备性，至此实现了卧式加工中心空间误差完备性建模，机床空间误差完备建模流程如图3所示。

2 空间误差预测与验证

2.1 几何误差元素辨识

采用“9线法”[14]进行位置相关几何误差元素辨识实验，将9条线上测得的定位偏差和直线度偏差数据代入辨识模型，即可辨识各轴位置相关几何误差元素，如图4～图6所示；另一方面，根据位置无关几何误差元素辨识原理[11]，垂直度误差元素辨识结果为：Sxy=12.28″、Syz=6.64″、Szx=10.83″。

2.2 空间误差模型验证

将几何误差元素辨识结果代入式(4)对加工中心进行空间误差预测。图7所示为该空间内切削成形点理想位置及预测所得空间误差作用下实际位置的分布状态。不难看出，在空间误差作用下，切削成形点将会偏离理想位置，偏离矢量差即为空间误差，亦即空间定位精度。

根据ISO 230-6:2002标准，在被测加工空间内开展空间体对角线定位精度测量实验，对空间误差预测结果进行验证，如图8a所示。X、Y、Z轴测量采样步长分别设置为50 mm、40 mm、40 mm，实验平台搭建如图8b所示。将图7中空间定位精度预测值与实测值进行对比，如图9及表3所示，可以看出预测值与实测值基本吻合，表明所提出空间误差完备建模方法可行且模型具有较高的预测精度。

3 卧式加工中心几何误差元素甄别

3.1 几何误差元灵敏度分析

根据式(4)，卧式加工中心空间误差模型可表达为

E=f(U,e,Pt,Psv)

(5)

U=(x,y,z)T

e=(e1,e2,…,e21)T

式中，U为机床进给位置指令值(目标位置)；Psv为体v坐标系原点在体s坐标系中的初始位置矢量；Pt为切削成形点在刀具坐标系下的位置矢量；e为几何误差元素向量;ej (j=1,2,…,21)与表1中内容一致。

显然，f是关于U、e、Pt、Psv的连续可微函数，故式(5)的一阶泰勒(Taylor)展开为

E+ΔE=f(U+ΔU,ej+Δej,Pt+ΔPt,Psv+

(6)

式中,o(U，e，Pt，Psv)为关于U、e、Pt、Psv的高阶无穷小。

不失一般性，假设机床多体系统中各相邻体坐标系原点初始位置一定，且被测加工空间及刀具几何特征恒定，则式(6)中的U、Pt、Psv为常量，若忽略高阶无穷小项，可化简得

(7)

(8)

式中,K为误差灵敏度矩阵。

式(7)即为机床空间误差对几何误差元素的灵敏度分析模型。

联立式(4)和式(8)，可定义机床空间误差E对几何误差元素ej偏导数的绝对值即为误差灵敏度，它反映了各几何误差元素产生等量微小摄动Δej时空间误差变化的程度，即

(9)

式中，Kxj、Kyj、Kzj分别为Ex、Ey、Ez对几何误差元素ej的误差灵敏度。

整理计算即可得到空间误差在X、Y、Z方向的各几何误差元素灵敏度，如表4～表6所示。

利用表4～表6对空间误差分量Ei(i=x，y，z)进行灵敏度计算分析时，所得数值越大，说明Ei对几何误差元素ej越敏感。将几何误差元素灵敏度作进一步归一化处理，即可得空间误差分量Ei对几何误差元素ej的灵敏度系数即

(10)

结合图7预测所得卧式加工中心空间误差分布状态，选取空间定位精度最差位置(-500 mm，-400 mm，-400 mm)进行各向空间误差灵敏度分析。经计算整理可绘制出图10所示空间各向几何误差元素灵敏度系数分布。

3.2 几何误差元素实际参预度分析

尽管利用图10可定量分析加工中心各向几何误差元素的灵敏度，但由于部分元素数量级较小，对机床空间误差的实际影响亦相对很小，故灵敏度分析结果还不足以作为甄别关键几何误差元素的依据。为此，定义几何误差元素实际参预因子Aj，用于判定几何误差元素对空间误差的实际影响程度，则有

(11)

将实际参预因子进行归一化处理，可得几何误差元素对空间误差的实际参预度，如图11所示。

通过分析图11可知，对空间误差X向分量实际参预最大的几何误差元素是δx(y)，其实际参预度为0.27，其次是δx(x)和δx(z)，实际参预度分别为0.224和0.175；对空间误差Y向分量实际参预最大的几何误差元素是εx(x)，其实际参预度为0.35，其次是δy(x)，实际参预度为0.281；对空间误差Z向分量实际参预最大的几何误差元素是δz(x)，其实际参预度为0.425，其次是εx(z)，实际参预度为0.332。

3.3 甄别结果分析与验证

将上述结果与3.1节中灵敏度分析结果进行对比发现，两种方法甄别所得卧式加工中心关键几何误差元素并不相同，如表7所示。

为验证3.2节中机床关键几何误差元素甄别方法的准确性与有效性，以空间误差完备模型为基础开展如下数值模拟实验。

(1)制定补偿策略Ⅰ：将传统基于灵敏度分析甄别所得机床关键几何误差元素全部置零，即消除其对机床空间误差的影响，并基于式(4)计算此时机床空间误差各向分量。

(2)制定补偿策略Ⅱ：将3.2节中基于实际参预度分析甄别所得机床关键几何误差元素全部置零，亦即消除其对机床空间误差的影响，同样并基于式(4)计算此时机床空间误差各向分量。

将上述计算结果与无补偿状态下的计算结果进行对比(表8)发现，补偿策略Ⅱ造成机床空间误差各向分量相对变化率分别为118.48%、58.86%和98.09%，均远大于补偿策略Ⅰ，说明补偿策略Ⅱ中被置零的几何误差元素对机床空间误差影响作用更强，是机床关键几何误差元素。据此，可验证所提甄别方法具有较高的准确性与有效性。

由表7可知，通过实际参预度分析法甄别所得7项关键几何误差元素均与位置相关，且与X轴有关的关键几何误差元素最多，占据4项，为δx(x)、δy(x)、δz(x)、εx(x)；其次是Z轴，占据2项，为δx(z)、εx(z)；Y轴最少，只占据1项，为δx(y)。甄别结果表明：此机床进行X轴进给时，X轴位置相关几何误差元素对空间误差的影响最大，由于位置相关几何误差元素主要来源于机床运动部件制造误差[15]，因此该卧式加工中心X向运动副制造精度可能存在较大问题，若以此开展机床精度稳健设计，需要优先保证X轴运动副制造精度。

4 结论

(1)针对目前机床空间误差预测模型完备性缺失的问题，提出了一种卧式加工中心完备空间误差模型构建方法，确保了模型涵盖机床21项几何误差元素，并通过实验验证了所建完备空间误差模型的准确性。

(2)针对传统基于灵敏度分析甄别关键几何误差元素缺乏准确性与有效性的问题，在完备空间误差模型的基础上，提出了机床几何误差元素实际参预度分析计算方法，准确、有效地表征了各元素对机床空间误差的实际影响程度。

(3)对某型卧式加工中心关键几何误差元素进行了甄别，并利用数值模拟实验对比验证了甄别方法。结果表明，该机床的关键几何误差元素是δx(x)、δx(y)、δx(z)、δy(x)、δz(x)、εx(x)和εx(z)。

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A Methodology for Identifying Crucial Geometric Error Elements of Horizontal Machining Centers

HU Teng1 GUO Xipeng1 MI Liang2 YIN Guofu3

1.School of Mechatronic Engineering,Southwest Petroleum University,Chengdu,610500 2.Institute of Machinery Manufacturing Technology,China Academy of Engineering Physics, Mianyang,Sichuan,621999 3.School of Manufacturing Science and Engineering,Sichuan University,Chengdu,610065

Abstract: Taking a horizontal machining center as the research object, a complete volumetric error model was established by defining the initial position and position error characteristic matrix for local coordinates of each components of machine tools, so as to solve the problems that some geometric error elements(GEE) were lost when concerning about the conventional volumetric error modeling methodology. The proposed complete volumetric model was experimentally validated by measuring the volumetric diagonal positioning errors. The concept, as well as the calculation approaches, of GEEs actual contribution factors(ACF) were presented on the basis of the complete volumetric error model. A novel methodology for identifying the crucial GEEs was furtherly formulated with the help of complete volumetric error model and ACF. Based on the calculated ACFs or sensitivities, the crucial GEEs of the given machining center were respectively identified. The comparative analyses show that the proposed identification methodology, fundamental of which is the concept of ACF, is more accurate and effective than that based on traditional sensitivities analyses. The identified results indicate that there are 7 crucial GEEs for the studied machining center, which are all position-dependent. In particular, 4 elements of the crucial GEEs are related with feeding motions in X-axis, which suggests that the machine tool movable components in X-axis may have massive flaws affected the manufacturing accuracy.

Key words: machine tool volumetric error； complete modeling； crucial geometric error element； actual contribution degree

中图分类号：TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2020.13.004

开放科学(资源服务)标识码(OSID)：

收稿日期：2019-05-31

基金项目：国家科技重大专项(2018ZX04032001)；四川省重点研发计划资助项目(2017GZ0057)

(编辑 袁兴玲)

作者简介：胡 腾，男，1985年生，博士后研究人员。研究方向数字制造装备精度演变行为预测与控制技术。殷国富(通信作者)，男，1956年生，教授、博士研究生导师。E-mail: gfyin@scu.edu.cn。