0 引言
随着现代化工业和科学技术的发展，各行各业对滚动轴承的使用性能提出了越来越高的要求，工业机器人轴承要求质量小、体积小、运转稳定可靠和旋转精度高[1]。四点接触球轴承可以承受径向载荷、双向轴向载荷和倾覆力矩，由于其联合承载能力强、摩擦力矩小和精度高，故被广泛应用在工业机器人、精密转台、航空航天设备及风力发电机组等领域。
目前，国内外学者对四点接触球轴承的研究主要集中在疲劳寿命、载荷分布和结构优化设计这三个方面，对四点接触球轴承旋转精度的研究却鲜有报道。在疲劳寿命研究方面，HAN等[2]进行了极端载荷作用下四点接触球轴承摩擦力矩、刚度特性以及疲劳寿命试验，研究了联合载荷作用下该型轴承滚道表面的温度特性。刘少军等[3]将Monte Carlo随机有限元和应力-强度理论相结合，提出了一种高速四点接触球轴承接触疲劳可靠性的评估方法。POTOCNIK 等[4]对四点接触球轴承的疲劳寿命公式进行改进，得到一种新的针对大型转盘用四点接触球轴承疲劳寿命计算方法。李云峰等[5]利用转盘轴承的数值分析模型和有限元分析模型提出了联合载荷作用下三排滚子转盘轴承的校核计算方法，得到滚道的抗塑性变形安全系数、滚道的疲劳寿命和套圈的结构强度安全系数。在载荷分布研究方面，牛荣军等[6]以双排非对称四点接触球轴承为研究对象研究了该型轴承非对称接触角对其载荷分布、刚度以及承载能力的影响。AMASORRAIN等[7]根据几何关系详细推导并建立了四点接触球轴承的数学模型,分析了四点接触球轴承在轴向和径向联合载荷作用下的载荷分布情况。KANIA等[8]利用超单元法建立四点角接触球轴承和双列四点角接触球轴承有限元简化模型研究了轴承支撑结构、套圈变形和连接螺栓对轴承力学性能的影响。毛月新等[9]根据弹性接触理论分析了不同的参数对接触应力分布的影响，计算了不同凸度量对偏载工况下接触应力分布的影响。在结构优化设计研究方面，蔡素然等[10]详细介绍了工业机器人专用四点接触球轴承的结构形式和性能特点，对该型轴承在设计过程中主参数的优化、关键结构参数的设计及选取原则做出了归纳性总结。代学良[11]、袁倩倩[12]和吴怀超等[13]基于遗传算法和有限元理论，对四点接触球轴承和液体动静压轴承结构参数进行了多目标结构优化设计。在轴承旋转精度的研究方面，人们主要的研究对象是深沟球轴承和圆柱滚子轴承[14-17]，而对角接触球轴承特别是四点接触球轴承的研究却很少[18-19]。究其原因，主要是深沟球轴承和圆柱滚子轴承的内部接触比较简单直观，在径向力作用下，如果不考虑轴承内外圈沟道的圆度误差，把内外圈沟道看成理想圆，那么深沟球轴承内部钢球和内外圈的接触点分布在一个平面圆上，圆柱滚子轴承内部滚子和内外圈的接触点分布在一个空间圆柱面上，即使考虑轴承内外圈沟道的圆度误差，在分析建模过程中，这两种轴承内部钢球或滚子与内外圈的接触点通过假设简化也可以看成分布在同一平面上。但是，相比前两种轴承，角接触和四点接触球轴承的内部接触更加复杂，在径向力的作用下，如果考虑轴承内外圈沟道圆度误差，那么这两种轴承内部钢球和内外圈的接触点分布在一个圆锥面上，需要建立空间接触点组成的三维空间接触曲线向二维平面接触曲线转换模型，这就增加了研究四点接触球轴承旋转精度的难度。机器人用四点接触球轴承旋转精度是衡量整个轴承精度的重要指标之一，直接影响机器人的运转平稳性、重复定位精度、动作精确度及工作可靠性，因此，开展四点接触球轴承旋转精度的研究对提高轴承精度乃至机器人关键性能具有重大意义。
以往学者对轴承旋转精度的研究大多单独考虑内圈沟道或者外圈沟道的圆度误差，其优点是便于建模和提高MATLAB程序计算速度，但是圆度误差在轴承内外圈沟道中是普遍存在的，同时考虑轴承内圈沟道和外圈沟道的圆度误差更具有现实意义。本文针对影响机器人用四点接触球轴承旋转精度的因素开展研究，首先建立四点接触球轴承内部钢球和内外圈三维空间接触曲线向二维平面接触曲线转化的数学模型，在此基础上提出了同时考虑轴承内外圈沟道圆度误差的轴承旋转精度数值计算方法，然后使用MATLAB编写数值计算程序，实现四点接触球轴承旋转精度仿真求解，最后研究了内圈沟道圆度误差幅值和谐波阶次、外圈沟道圆度误差幅值和阶次阶次、钢球直径偏差及钢球个数对轴承旋转精度的影响。
1 四点接触球轴承旋转精度分析模型
1.1 空间曲线向平面曲线转换模型的建立
机器人用四点接触球轴承模型如图1所示，O点为轴承节圆的圆心，z轴沿轴承轴线方向，x轴沿水平方向，y轴竖直向上。为便于分析与数值计算，建立图2所示的两个全局坐标系：空间直角坐标系(x1,y1,z)和柱坐标系(r,θ,z)。外圈沟道与任意钢球的接触点和该钢球球心的连线相交于轴承轴线上一点O1，x1轴与x轴平行且方向一致，y1轴与y轴平行且方向一致。考虑外圈沟道圆度误差时，沟道与钢球的接触点都在图2中的圆锥面上，沟道与钢球的接触点组成的空间曲线也在图2中的圆锥面上，为了分析内圈沟道和外圈沟道圆度误差对轴承旋转精度的影响，把外圈沟道与钢球的接触点组成的空间曲线S转化为平面直角坐标系x1O1y1和极坐标系O1x1中的平面曲线S1。空间曲线S转化为平面曲线S1的步骤如下：①在柱坐标系(r,θ,z)中，任意作过z轴的半平面θ=φ(0≤φ≤360°)，该半平面和空间曲线有且只有一个交点N；②在极坐标系O1x1中作点N1 (lO1N,φ) ；③重复以上两步骤可以找到空间曲线S在极坐标系O1x1中对应的平面曲线S1。本文讨论的机器人用四点接触球轴承旋转精度的数值计算模型在极坐标系O1x1(平面直角坐标系x1O1y1)中开展。
图1 四点接触球轴承模型
Fig.1 Model of four-point contact ball bearing
图2 空间曲线向平面曲线转换的模型
Fig.2 Model of conversion from spatial curve to
planal curve
1.2 模型假设
本文提出的机器人用四点接触球轴承旋转精度分析模型基于以下假设：①内圈固定，外圈旋转，钢球与套圈之间不存在相对滑动；②不考虑轴承内部存在的弹性流体动力润滑效应；③不考虑轴承元件的弹性变形；④钢球在圆周方向均匀分布，不考虑隔离块组件的影响。
1.3 轴承内外圈沟道廓形曲线方程
在极坐标系O1x1中，四点接触球轴承外圈沟道和内圈沟道的圆度误差方程可以用傅里叶级数来表示：
(1)
(2)
式中，ΔSo为外圈沟道圆度误差；ΔSi为内圈沟道圆度误差；θ为内外圈沟道上任意一点的位置角；m为谐波阶次；Aom、Bom分别为外圈沟道m阶谐波分量圆度误差余弦幅值和正弦幅值;Aim、Bim分别为内圈沟道m阶谐波分量圆度误差余弦幅值和正弦幅值。
当轴承外圈逆时针旋转β时，根据极坐标系中曲线的旋转变换公式，旋转变换后的外圈沟道圆度误差方程为
(3)
式中，ΔSoβ(θ)为外圈逆时针旋转β时外圈沟道圆度误差；β为轴承外圈逆时针旋转角度。
在极坐标系中，四点接触球轴承外圈沟道廓形曲线方程为
(4)
式中，do为不考虑圆度误差时外圈沟道与钢球的接触点组成圆的直径；α为接触角。
同理，内圈沟道廓形曲线方程为
(5)
式中，di为不考虑圆度误差时内圈沟道与钢球的接触点组成圆的直径。
1.4 钢球中心坐标
图3 轴承内外圈和钢球的初始位置
Fig.3 Initial position of inner ring, steel ball
and outer ring of the bearing
在极坐标系中，轴承内外圈和钢球的初始位置如图3所示。初始位置时有一个钢球的球心在x1正半轴上，将该钢球编号为1，沿逆时针方向给钢球逐个编号，两虚线圆表示不考虑圆度误差时四点接触球轴承内部钢球与内外圈接触点组成的三维空间曲线在极坐标系O1x1中对应的二维平面曲线。
轴承外圈从初始位置逆时针转动β时，钢球中心坐标也随之变化，在外圈的带动下，钢球首先公转至新的位置，然后沿接触角方向发散至与外圈沟道接触。当轴承内圈固定、外圈转动时，钢球公转角速度
Ωb=ω(1+γ)/2
(6)
γ=Dwcosα/dm
式中，ω为外圈逆时针转动角速度；Dw为钢球直径；dm为轴承节圆直径。
当外圈绕轴承轴线逆时针转动的时间为t时，其旋转的角度
β=ωt
(7)
同理可以得到钢球圆心绕坐标原点逆时针转动的角度：
φ=Ωb t
(8)
联立式(6)～式(8)可以得到钢球圆心绕坐标原点旋转的角度与外圈旋转角度的关系：
φ=β(1+γ)/2
(9)
初始位置时第j个钢球圆心角位置为
θj=360°(j-1)/N
(10)
式中，N为钢球个数。
当外圈绕轴承轴线逆时针转动β时，第j个钢球圆心角位置为
θjr=360°(j-1)/N+φ
(11)
在极坐标系中，钢球j与外圈沟道接触时的位置如图4所示。可以看出，每个钢球的轮廓由两段圆弧组成：靠近外圈的一段圆弧和靠近内圈的一段圆弧，Dj表示坐标原点到钢球中心的距离，由几何关系推导可得坐标原点到A1的距离：
(12)
同理可得极坐标原点到A2的距离：
(13)
钢球j的轮廓到外圈轮廓的径向距离
图4 钢球与外圈接触时的位置
Fig.4 Position of steel ball in contact with outer ring
Ljo(θ)=Soβ(θ)-r2
(14)
钢球j的轮廓到内圈轮廓的径向距离
Lji(θ)=r1-Siβ(θ)
(15)
当钢球j与外圈沟道接触时，钢球中心坐标为
(16)
1.5 轴承稳定状态时外圈沟道中心坐标
当所有钢球与外圈接触时，把钢球与外圈作为整体向上移动，使位于纵轴两侧、横轴下侧的两个钢球与内圈接触，认为此时的轴承处于稳定状态。轴承处于稳定状态时钢球和内外圈的位置如图5所示，O2为轴承稳定状态时外圈沟道中心，Mj、Mk为轴承稳定状态时两个钢球与内圈的接触点，Obj2、Obk2为轴承稳定状态时两个钢球的中心。轴承稳定状态时外圈沟道中心坐标为
(17)
式中，Xbj2、Ybj2分别为轴承稳定状态时钢球中心的横、纵坐标。
图5 轴承稳定状态时内外圈与钢球的位置
Fig.5 Position of inner and outer rings and steel
balls in stable bearing
1.6 轴承旋转精度
轴承旋转精度涉及内外圈的径向跳动、内外圈端面对滚道的跳动、内圈基准端面对内径的跳动、外圈素线对基准端面倾斜度的变动量及内外圈滚道对底面厚度的变动量，本文研究的四点接触球轴承旋转精度是指轴承外圈径向跳动。滚动轴承外圈径向跳动Kea定义为同一径向方向上外圈跳动的最大距离与最小距离之差，则四点接触球轴承在y1轴方向的径向跳动
Kea=dmax-dmin
(18)
式中，dmax、dmin分别为y1轴方向上外圈旋转中心移动的最大距离、最小距离。
2 数值计算及验证
2.1 确定四点接触球轴承型号
本文以洛阳某轴承厂提供的RU110S四点接触球轴承为研究对象，其基本参数见表1，取该型轴承的基本参数作为数值计算的初始条件。
表1 四点接触球轴承基本参数
Tab.1 Basic parameters of four-point contact ball bearings
外圈沟道直径do(mm)114.809内圈沟道直径di(mm)105.791钢球直径Dw(mm)5.953钢球个数Z 48接触角α(°)45
2.2 数值计算程序的实现
本文基于MATLAB编写数值计算程序，实现四点接触球轴承外圈径向跳动的仿真求解。数值计算程序求解过程如下：①输入初始条件，计算初始位置时各钢球中心坐标；②驱动外圈逆时针转动一个角度，计算钢球与外圈接触时各钢球中心坐标；③把钢球与外圈整体向上移动直到轴承处于稳定状态，计算外圈沟道中心纵坐标；④改变外圈逆时针转动的角度，重复步骤②、③，求解四点接触球轴承外圈径向跳动。具体数值计算程序流程如图6所示。
图6 数值计算程序流程图
Fig.6 Flow chart of numerical calculation program
2.3 数值计算程序的验证
由RU110S四点接触球轴承内部几何约束可得内外圈沟道圆度误差幅值、钢球个数和钢球直径偏差的取值范围，由圆度误差、波纹度和粗糙度的定义可知，圆度误差不考虑高阶谐波阶次，本文只研究内外沟道圈圆度误差谐波阶次到50，各指标的取值范围见表2。
取内外圈沟道圆度误差谐波阶次为2，内圈沟道圆度误差幅值为0.005 mm，外圈沟道圆度误差幅值为0.025 mm，钢球个数为8，钢球直径偏差为0来验证本文数值计算程序的正确性。通过数值计算得到轴承稳定状态时外圈旋转中心径向移动量，如图7所示。该图与文献[14]中图4a有着相同的规律，两条曲线具有相似的变化趋势，都具有周期性，表明本文基于MATLAB编写的数值计算程序是正确的，同时也说明所建机器人用四点接触球轴承旋转精度计算模型是正确的。
表2 各指标的取值范围
Tab.2 The range of each index
内圈沟道圆度误差谐波阶次mi2～50外圈沟道圆度误差谐波阶次mo2～50内圈沟道圆度误差幅值(mm)0～0.21外圈沟道圆度误差幅值(mm)0～0.21钢球个数N8～50钢球直径偏差(mm)-0.21～0.21
图7 外圈旋转中心径向移动量
Fig.7 Radial displacement of the rotation center
of outer ring
3 数值计算结果及分析
基于本文建立的机器人用四点接触球轴承旋转精度数值计算模型编写了相应的数值求解程序，分析了轴承内外圈滚道圆度误差谐波阶次与幅值、钢球个数和钢球直径偏差对轴承旋转精度的影响。
3.1 内外圈沟道圆度误差谐波阶次对轴承外圈径向跳动的影响
图8 内圈沟道圆度误差谐波阶次对
外圈径向跳动的影响
Fig.8 Effect of harmonic order of roundness error of
inner raceway on the radial runout of outer ring
图9 外圈沟道谐波阶次对
外圈径向跳动的影响
Fig.9 Effect of harmonic order of roundness error of
outer raceway on the radial runout of outer ring
设置轴承内外圈沟道圆度误差幅值均为0.01 mm、钢球个数为8，钢球直径偏差为0。研究内圈沟道圆度误差谐波阶次对轴承外圈径向跳动的影响时，令外圈沟道圆度误差谐波阶次为2；研究外圈沟道圆度误差谐波阶次对轴承外圈径向跳动的影响时，令内圈沟道圆度误差谐波阶次为2。内圈和外圈沟道圆度误差谐波阶次对轴承外圈径向跳动的影响如图8、图9所示,可以看出，外圈径向跳动随着谐波阶次的增加呈现周期性变化，该周期是钢球的个数,随着周期数的增大，每个周期中轴承外圈径向跳动的最小值也在增大。这是由于对于特定的轴承结构参数，当钢球个数与内外圈沟道圆度误差谐波阶次满足特定关系时，钢球同时处于波峰或波谷，从而使轴承径向跳动最大，这时轴承旋转精度最低。在轴承内外圈加工过程中，控制内外圈滚道圆度误差的谐波成分有助于提高轴承旋转精度。
3.2 内外圈沟道圆度误差幅值对轴承外圈径向跳动的影响
图10 内圈沟道圆度误差幅值对
外圈径向跳动的影响
Fig.10 Effect of amplitude of roundness error of
inner raceway on the radial runout of outer ring
图11 外圈沟道圆度误差幅值对
外圈径向跳动的影响
Fig.11 Effect of amplitude of roundness error of
outer raceway on the radial runout of outer ring
设置轴承内外圈沟道圆度误差谐波阶次均为2、钢球个数为8，钢球直径偏差为0。研究内圈沟道圆度误差幅值对轴承外圈径向跳动的影响时，令外圈沟道圆度误差幅值为0；研究外圈沟道圆度误差幅值对轴承外圈径向跳动的影响时，令内圈沟道圆度误幅值为0。内圈和外圈沟道圆度误差幅值对轴承外圈径向跳动的影响如图10、图11所示,可以看出，轴承外圈径向跳动随着轴承内圈或外圈沟道圆度误差幅值的增大而增大，而且增大的阶段可以分为两段：平稳上升阶段和快速上升阶段。这两个阶段具有一个转折点，在工程实际中可以通过本文方法找到该转折点，把轴承内外圈沟道圆度误差幅值控制在转折点以下，从而降低轴承外圈径向跳动，提高轴承旋转精度。
3.3 钢球直径偏差与钢球个数对轴承外圈径向跳动的影响
设置轴承内外圈沟道圆度误差谐波阶次均为2、内外圈沟道圆度误差幅值均为0。研究钢球直径偏差对轴承外圈径向跳动的影响时，令钢球个数为8；研究钢球个数对轴承外圈径向跳动的影响时，令钢球的直径偏差为0。钢球直径偏差对轴承外圈径向跳动的影响如图12所示,可以看出，轴承外圈径向跳动随着钢球直径偏差的增大而减小。这是由于随着钢球直径偏差的增大，钢球的直径也会增大，使轴承径向游隙减小，轴承外圈径向跳动也随之减小，从而提高了轴承旋转精度。
图12 钢球直径偏差对外圈径向跳动的影响
Fig.12 Effect of diameter deviation of steel ball on
the radial runout of outer ring
图13 钢球个数对外圈径向跳动的影响
Fig.13 Effect of the number of steel ball on the
radial runout of outer ring
钢球个数对轴承外圈径向跳动的影响如图13所示,可以看出，轴承外圈径向跳动随着轴承内部钢球个数的增大呈指数减小。这是由于增大轴承内部钢球个数会使钢球间的跨距减小，从而使外圈旋转中心径向移动的范围明显减小，使轴承外圈径向跳动显著减小，提高了轴承的旋转精度。所以增大钢球个数可以显著提高轴承的旋转精度，但是当钢球个数增大到一定程度时，继续增大钢球个数对提高轴承旋转精度影响不大。
4 试验验证
本文利用轴承旋转精度测量仪采集RU110S四点接触球轴承外圈径向跳动，通过与仿真结果进行对比分析来验证数值仿真结果的正确性。
4.1 试验方案
选取洛阳某轴承厂提供的10套RU110S四点接触球轴承进行旋转精度测试试验，这10套轴承分为5组，每组2套具有相同的轴承参数，采集的轴承外圈径向跳动取平均值，5组轴承的钢球直径偏差依次为0、0.005 mm、0.010 mm、0.015 mm、0.020mm。轴承旋转精度测量仪实物图如图14所示。
图14 轴承旋转精度测量仪
Fig.14 Rotation accuracy measuring instrument
of bearing
4.2 对比分析
试验测试结果见表3，可以看出，随着钢球直径偏差的增大，轴承外圈径向跳动减小，即旋转精度提高，与图12仿真数据的规律一致，验证了本文结果的正确性，也说明本文建立的四点接触球轴承旋转精度数值计算模型是合理的。
表3 测试结果
Tab.3 The result of test
钢球直径偏差(μm)试验结果(μm)03.553103152.5201.5
5 结论
(1)本文建立了机器人用四点接触球轴承旋转精度数值计算模型，使用MATLAB实现了该型轴承旋转精度的仿真计算，解决了四点接触球轴承旋转精度难以预测的问题，为四点接触球轴承的精度设计提供理论基础。该模型不仅适用于四点接触球轴承，而且适用于深沟球和角接触球轴承轴承旋转精度的仿真计算。
(2)本文研究了RU110S四点接触球轴承内外圈沟道圆度误差谐波阶次、幅值、钢球直径偏差和钢球个数对轴承外圈径向跳动的影响，通过试验验证了研究结果的正确性。轴承外圈径向跳动随着内外圈沟道圆度误差谐波阶次的增大呈周期性变化，在该型轴承内外圈加工过程中，应该控制内外圈沟道圆度误差的谐波成分和幅值，降低轴承外圈径向跳动，提高轴承的旋转精度。
(3)轴承外圈径向跳动随着钢球直径偏差的增大而呈线性减小，随着轴承内部钢球个数的增大呈指数减小。在工程应用中，对轴承进行精度设计时可以通过增大轴承内部钢球个数和选配直径稍大的钢球来降低轴承外圈径向跳动，从而达到提高轴承旋转精度的目的。
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